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数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)

期末考试试卷(A 卷)2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题(每小题2分,共10分)1. 用计算机求1000100011n n=∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。

( )2. 为了减少误差,进行计算。

( )3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关,与常数项无关。

( )二、填空题(每空2分,共36分)1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____,2x =______,Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积,即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =,其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则L =_______________,U =______________;若使用克劳特消元法解AX B =,则11u =____;若使用平方根方法解AX B =,则11l 与11u 的大小关系为_____(选填:>,<,=,不一定)。

8. 以步长为1的二阶泰勒级数法求解初值问题(0)1y x yy '=+⎧⎨=⎩的数值解,其迭代公式为___________________________.三、计算题(第1~3、6小题每题8分,第4、5小题每题7分,共46分)1. 以02x =为初值用牛顿迭代法求方程3()310f x x x =--=在区间(1,2)内的根,要求(1) 证明用牛顿法解此方程是收敛的;(2) 给出用牛顿法解此方程的迭代公式,并求出这个根(只需计算12,,x x 计算结果取到小数点后4位)。

2. 给定线性方程组1231231230.40.410.40.820.40.83x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩(1) 分别写出用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解上述方程组的迭代公式;(2) 试分析以上两种迭代方法的敛散性。

3. 已知函数()y f x =在如下节点处的函数值(1) (2) 根据后三个节点建立二阶牛顿后插公式2()P x ,并计算(1.1)y 的近似值; (3) 采用事后估计法计算(2)中近似值的截断误差(结果保留四位小数)。

4.5. 已知函数()y f x =在以下节点处的函数值,利用差商表求(3)f '和(3)f ''的近似值。

6. 写出前进欧拉公式、后退欧拉公式,并由这两个公式构造一个预估-校正公式求解下列常微分方程的数值解。

22(01,0.2)(0)0y x y x h y '⎧=+≤≤=⎨=⎩四、(8分)已知n+1个数据点(,)(0,1,2,,)i i x y i n ,请用多种方法建立这些数据点之间的函数关系,并说明各种函数的适用条件。

期末考试答案及评分标准(A 卷)2007学年第二学期 考试科目: 数值分析一、判断题:(每小题2分,共10分)1. ×2. √3. ×4. ×5. ×二、填空题:(每空2分,共36分) 1. 0.005或20.510-⨯ ,0.5 2.3. 0,24. 1,0,1,35. ()A A ρ≤6. ()1M ρ<7. 1042,,1,10212⎡⎤-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8. 11()(1)2n n n n n n y y x y x y +=+++++或1 1.5 2.50.5,0,1,2,n n n y x y n +=++=三、解答题(第1~4小题每题8分,第5、6小题每题7分,共46分) 1. (1)证明:3()31f x x x =--,由于a) (1)30,(2)10,f f =-<=> b) 2()330((1,2)),f x x x '=-≠∈c)()60((1,2)),f x x x ''=>∈ 即()f x ''在(1,2)上不变号,d) 对于初值02x =,满足(2)(2)0,f f ''> 所以用牛顿迭代法求解此方程是收敛的。

………………………………………4分(2)解:牛顿迭代法的迭代公式为312()31()33n n n n n n n n f x x x x x x f x x +--=-=-'- ………………………………………2分取初值02x =进行迭代,得1 1.8889,x =………………………………………1分2 1.8795.x =………………………………………1分2. 解:(1)Jacobi 迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x +++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩ ……………………………2分 Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3120.40.410.40.820.40.83k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--+⎪=--+⎨⎪=--+⎩……………………………2分 (2)Jacobi 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλ=,展开得30.960.2560λλ-+=,即(0.8)(0.40.40λλλ-+++-=,从而得 123-1.0928,0.8000,0.2928λλλ===,(或由单调性易判断必有一个大于1的特征根,)因此迭代矩阵的谱半径等于必大于1,所以Jacobi 迭代法发散。

……………………………2分Gauss-Seidel 迭代矩阵的特征方程为0.40.40.40.800.40.8λλλλλλ=,展开得2(0.8320.128)0λλλ-+=,解得1230,0.628,0.204,λλλ=≈≈迭代矩阵的谱半径小于1,所以Gauss-Seidel 迭代法收敛。

……………………………2分3. 解:(1)建立差分表………………………………………2分 (2)建立牛顿后插公式为2232022********()()()()!!()()()P x x x x x x x x =-----=-----=-+ 则所求近似值为211279(.).P =………………………………………3分(3)根据前三个节点建立牛顿后插公式为1221431112312124()()()()!!()()P x x x x x x x x x =----=----=-++ 则 1211268()(.).P = 根据事后误差估计法1222209091()()(.)(.)x R x P P x -⎡⎤≈-⎣⎦+ 故截断误差209112792680047121.(.)(..)..R -≈⨯-≈- ………………………………………3分4. 解:设所求二次最小平方逼近多项式为22012().P x a a x a x =++ 根据已知数据,得01211111002,,11151240a M A a Y a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……………………………2分则4268268,468186M M M Y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦……………………………1分建立法方程组为0124268268468186a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ……………………………2分解得0123.5, 1.5, 1.5.a a a ===-……………………………1分从而得所求一次最小平方逼近多项式为21() 3.5 1.5 1.5.P x x x =+-……………………………1分5. 解:设2()P x 为已知节点数据的插值二次多项式。

构造如下差商表:……………………………2分因为二次多项式的二阶差商为常数,又2()P x 是()f x 的插值函数,故有225[4,3,3][3,3,3]2P P ==……………………………2分而22[3,3]75[4,3,3]342P P -==-,因此得29[3,3]2P =, ……………………………1分由于1()()![,,,,]k n k f x k P x x x x +≈,从而得293332()[,],f P '==2323335()![,,].f P ''==……………………………2分6. 解:前进欧拉公式:221(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +=+⋅=++…………1分后退欧拉公式:2211111(,)0.20.2n n n n n n n y y h f x y y x y +++++=+⋅=++ ……1分预估时采用欧拉公式*2210.20.2n n n n y y x y +=++……………………………1分校正时采用后退欧拉公式()22*1110.20.2n n n n y y xy+++=++……………………………1分由初值000002,,.x y h ===知,节点分别为0.2,(1,2,3,4,5)i x i i ==当10.2,x =*2210000.20.20,y y x y =++=()22101102020008*...y y x y=++=,……………………………1分当20.4,x =*2221110.20.20.0160,y y x y =++≈()222122020200401*...y y x y =++≈.……………………………1分当30.6,x =*2232220.20.20.0724,y y x y =++≈ ()223233020201131*...y y x y =++≈.……………………………1分当40.8,x =*2243330.20.20.1877,y y x y =++≈()224344020202481*...y y x y=++≈.……………………………1分当51.0,x =*2254440.20.20.3884,y y x y =++≈()225455020204783*...y y x y=++≈.四、(8分)答:1、可以建立插值函数: (1)Newton 基本差商公式00100121001110()()()[,]()()[,,]()()()[,,,]n n n P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x -=+-+--++---……………………………1分(2)Lagrange 插值多项式0011()()()()() n i i n n L x a f x a f x a f x a f x =+++++其中01101101()()()(),(,,,)()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x a i n x x x x x x x x -+-+----==----.……………………………1分这两类插值函数的适用条件是:n 不太大;而且要求函数严格通过已知数据点。

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