式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。


y(t ) x(t ) * g (t ) g (t ) * x(t ) 表示为：
回忆拉氏变换的卷积定理，有L[y(t)]=L[x(t)*g(t)]，所以： Y(s)=X(s)G(s)
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单位阶跃响应函数
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1 ( t ) dt 1 ,

1
(t )
0

2
t
脉冲响应函数
以下讨论线性控制系统在单位脉冲 (t ) 作用下的输出响 应g(t)，称为脉冲响应函数。
L[ (t )] 1,Y ( s) 1 G(s),
y(t ) L1[Y (s)] L1[G(s)] g (t ) 故：
出现在 t 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下： 0, t (t ) (t ) A ( t ) dt A A (t ) 且 , t 0 实际单位脉冲函数：
0, t 0 和 t (t ) 1 , , 0t (t ) (t ) 当 0时， Tuesday, November
从上式可以看出，g(t)是系统的脉冲响应函数，它等于 系统传递函数的拉氏反变换。g(t)与G(s)有一一对应的关系。 g(t)也是线性控制系统的数学模型。 [例2-16]：设系统的脉冲响应函数是 g (t ) 4e 1 t 4 8 2 [解]： G ( s ) L[ g (t )] L[4e ] 1 2s 1 s 2
G(s) -1 G(s) L[ g (t )dt ] , 即L [ ] g (t )dt s s
h(t ) g (t )dt
0

(t ) 或g (t ) h
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小结
脉冲响应函数； 脉冲响应函数与传递函数之间的关系；
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1 t 2
，求G(s)。
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用脉冲响应函数表示输出
我们还可以不证明地表示出：利用脉冲响应函数，可以 求出在任何输入x(t)下的输出y(t)。
y(t ) x( ) g (t )d 或 y(t ) 0 g ( ) x(t )d 0
② 单位阶跃响应函数： 单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。 它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应h(t).
0, t 0 x(t ) 1(t ) 1, t 0
X ( s ) L[ x(t )] L[1(t )]
1 y ( s ) G ( s ), 则输出： s
1 s
1
1 单位阶跃响应函数： h(t ) L [Y ( s)] L [ G ( s)] s
1
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Байду номын сангаас
③ 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：
g (t ) L1[G(s)],h(t ) L1[G(s) / s]
根据积分定理：当零初值时，有
单位阶跃函数；
脉冲响应函数和单位阶跃函数之间的关系。
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补充 脉冲响应函数
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脉冲函数
脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉 冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。 ① 理想单位脉冲函数： 0, t 0 [定义]： (t ) ，且 (t )dt 1，其积分面积为1。 , t 0