第一章：基本概念重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。

第二章：群重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。

难点：置换群、变换群、陪集。

第三章：正规子群和群的同态与同构重点：正规子群、商群、同态基本定理难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。

第四章：环与域重点：环、域、理想难点：环的同态、同构，极大理想、商域。

第五章：唯一分解整环重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。

难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。

近世代数练习题（A）一、填空题（每题3分，共30分）：1、设是集合到的满射，则 .2、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 .3、写出三次对称群的子群的一切左陪集，， .4、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 .5、设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 .6、若环的元素(对加法)有最大阶, 则称为环的 .7、若环满足左消去律，那么必定 (有或没有)左零因子.8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是环的 .9、若域，则称是一个素域.10、设是域的一个扩域,. 如果存在上非零多项式使, 则称为上的一个 .二、选择题（每题4分，共20分）：1、指出下列哪些运算是代数运算（）.A.在整数集上，B.在有理数集上，C.在正实数集上，D.在集合上，2、设是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）.A.的单位元的象是的单位元B.的元素的逆元的象是的象的逆元C.的子群的象是的子群D.的正规子群的象是的正规子群3、下列正确的命题是（）.A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环C.唯一分解整环必是主理想整环D.唯一分解整环必是欧氏环4、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（）A. B.C. D.5、下列不是循环环的单位（可逆元）的是（）.A. B.5 C. 7 D. 2三、证明题（每题10分,共50分）：1、设为实数且，并规定证明：对此运算作成一个群.2、证明: 9在有单位元的整环中不能惟一分解.3、设是偶数环. 证明:1);2)是否成立? 为什么? 是由哪个偶数生成的主理想?4、设是群到群的一个同态满射,又,,证明:.5、设6阶群G不是循环群，证明：G.（A）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）:1、2、3、或,或, 或4、5、或 6、特征(或特征数) 7、没有8、一个极大理想9、不含真子域10、代数元二、选择题（每题4分，共20分）:1、D2、 D3、B4、D5、D三、证明题（每题5分,共50分）:1、证明:显然是非空集合上的代数运算., 则有即, 对此运算满足结合律.又, 即是的左单位元; 又, 有且, 即是在中的左逆元. 因此, 对此运算作成一个群.2、证明: 首先易知,中的单位是.其次, 若, 则必是环的不可约元.事实上, 若是的任一因子, 则有, 使, 故或.但不可能, 故只有或.当时,是可逆元; 当时, 与相伴. 因此, 只有平凡因子, 即是不可约元.故, 是的不可约元.但, 而且又不与中的任一个相伴,即9不能惟一分解.3、证明:1), 则, 于是.再任取, 由知,. 故.2) 不成立.因为, 例如, 但.事实上, . 即是由8生成的主理想.4、证明：方法(一):因为,是满同态，故.令.下证是商群到的一个同构映射. 1) 是映射: 设, 则.因是同态满射,故.从而, 即是商群到的一个映射. 2) 是满射: , 因是同态满射, 故有使. 从而在之下有逆象, 即是满射. 3) 是单射: 设, 则.因是满射, 故有使,其中是的单位元. 于是故. 从而, 即是单射.又显然在之下有,故是商群到的一个同构映射. 因此.方法(二):利用群同态基本定理因为,是满同态，故.设是群到商群的映射. 因为又是满射(因是满射),故是群到商群的满同态映射.又, 据群同态基本定理, .5、证因为G不是循环群，故G没有6阶元.从而由Lagrange定理知，G必有2阶元或3阶元.除外G中元素不能都是2阶元：若不然，G为交换群.于是在G中任取互异的2阶元，则易知.这与Lagrange定理矛盾.又除外G中元素不能都是3阶元：若不然，则在G中任取3阶元，可知G有子群，且.于是,这与矛盾.因此，G必有2阶元和3阶元.由此可知：，且易知是G到的一个同构映射，故G.世代数练习题（B）一、填空题（每题3分，共30分）：1、设是实数集，规定的一个代数运算（右边的乘法是普通乘法），则（适合或不适合）结合律.2、设=是6阶循环群，则的所有生成元是 .3、给出一个5-循环置换，那么 .4、设是有单位元的交换环，是的由生成的主理想，那么中的元素可以表达为.5、设是群的子群，且有左陪集分类. 如果，那么 .6、群的任意个正规子群的交 (是或不是)群的正规子群.7、设是一个4阶群，则的真子群的可能的阶数是 .8、设是一个有单位元的整环.如果的每一个理想都是一个主理想，则称是一个 .9、模8的剩余类环的全部零因子是 .10、若域是域E的一个子域, 则称E为子域的一个 .二、选择题（每题4分，共20分）：1、设为群，其中是实数集，而乘法，这里为中固定的常数. 那么群中的单位元和元素的逆元分别是（）.A.0和B.1和0C.和D.和2、设是环同态满射，，那么下列错误的结论为（）.A.若是零元，则是零元B.若是单位元，则是单位元C.若是不交换的，则不交换D.若不是零因子，则不是零因子3、下列不是整环的单位的是（）.A.1B.-1C. iD. 2i4、设和都是群中的元素且，那么（）.A. B. C. D.5、设是有单位元的整环且. 在中，如果，其中是的一个单位，则称是的（）.A.相伴元B.可约元C.可逆元D.幂零元三、证明题（每题10分,共50分）：1、证明: 交换群中所有有限阶元素作成一个子群.2、设为整数集，证明对以下二运算作成一个交换环:.3、设是群到群的一个同态满射. 证明：是的正规子群，且.4、证明：整数环上的多项式环的理想不是主理想.5、证明：整数5在中的全部真因子共有8个，它们是.（B）参考答案一、填空题（每题3分，共30分）：1、适合2、(未全对者,不给分)3、4、5、86、是7、28、主理想整环9、(未全对者,不给分) 10、扩域二、选择题（每题4分，共20分）：1、D2、 D3、D4、B5、A三、证明题（每题10分,共50分）：1、证明: 设是由交换群中所有有限阶元素作成的集合. 显然, , 故非空. 若，设.因可换, 故, 从而。

又因, 故. 因此,.2、设为整数集，证明对以下二运算作成一个交换环:.证明: 易知对作成加群，1是零元，是元素的负元. 此外，对乘法满足交换律和结合律. 下证乘法对加法满足分配律：因为故.因此，对作成一个交换环.3、证明: 首先，由于的单位元是的正规子群，故其所有逆象的集合，即也是的一个正规子群.其次，设，则在与之间建立以下映射：.1）设，则.于是即中的每个陪集在之下在中只有一个象，因此，为到的一个映射；2）任取，因是满射，故有，使.从而在之下在中有逆象，即为满射.3）若，则，从而.即为单射.因此为双射.又由于有，故为同构映射，从而.4、证明：因若不然，设，则. 由于是有单位元的交换环，故可令，这只有.但因为显然是由常数项为偶数的所有整系数多项式作成的理想，故，矛盾.5、证明：设是5在中的任一真因子，则存在使，这只有.由于是5的真因子，而环的单位只有，故；又：因若，则由上知，即是单位，与5相伴，这与是5的真因子矛盾.故只有.解此方程可得于是，5的全部真因子共有8个，它们是: .近世代数练习题（C）一、填空题（每题5分，共40分）：1.设群中元素的阶为,则= ,这里为正整数.2.阶循环群有个子群.3.置换的阶为 .4.互不同构的6阶群有且只有个.5.设是一个非空集合,则其幂集环的特征为 .6.有限的除环是否为域？ .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、（10分）：举例说明:群的正规子群的正规子群未必是的正规子群.三、（20分）：叙述并证明群的同态基本定理.四、证明题（每题10分,共30分）：1.设是包含在群的中心内的一个子群.证明: 当为循环群时,为交换群.2. 在整数环中,1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.3. 设是一个域,且,证明:1).2)中除0与1外,其余的两个元素都满足方程.（C）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1．t ； 2. T(n); 3. 2 ; 4. 2 ; 5. 2 ; 6. 是;是 ;二、举例说明:群的正规子群的正规子群未必是的正规子群.解：在四次对称群中，Klein四元群是四次对称群的正规子群,而是的正规子群, 但是并不是的正规子群. 因为有.……(10分).三、叙述并证明群的同态基本定理.叙述: 设是从群与群的同态满射, 则是的正规子群, 且.证明: 由于的单位元是的一个正规子群, 故其逆象的集合, 即的核也是的一个正规子群. 首先,设则对任意的,有, 故是单射.其次, 对任意的, 由于是满射, 所以, 使, 从而, , 因此,是满射.又对任意的, 有, 因此, 是同构映射,故.四、证明题( 每题10分, 共30分)1.设是包含在群的中心内的一个子群.证明: 当为循环群时,为交换群.证明: 首先, 由于子群含于群的中心, 故是的正规子群.当是循环群, 且时, 对, 存在整数, 使得, 即,于是有, 使得, 由于含于群的中心, 因此中的元素与的任何元素都可换,故, 即是交换群.3. 在整数环中,3) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.若是个整数, 且, 则证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有. 即,因此, 而是显然的, 故.2) 由于，故，因而，，即, 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而, 因此.3．设是一个域,且,证明:1).2)中除0与1外,其余的两个元素都满足方程.证明：1) 设域的特征是素数, 则中每个非零元素的阶(作为加法)都是素数.但, 故, 从而, 即.4) 设, 则的乘群为, 由于在中的阶整除, 故的阶只能3. 令为中的任一个, 则, 即, 但且域无零因子, 故或. 又因, 故, 于是有.近世代数练习题（D）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,则= .2.无限循环群的生成元为 ;4阶循环群的生成元为 .3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.设是一个非空集合,则的幂集环的特征为 .6.模6的剩余类环的乘群阶数为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算题（10分）：设，求与.三、证明题（20分）：设是一个群,证明:1. 的全体内自同构作成一个群.2. .四、证明题（每题10分,共30分）：1．设群中元素的阶为,证明:.1. 在整数环中,1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.2. 设是一个有单位元的整环,,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.近世代数测试题（D）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1．；2. ，;3. 4;4. 3;5. 2;6. 2 ;7. 是 ;8. .二、计算题（10分）：设，求与.解：.,.三、证明题（20分）：见3.5节的定理3.四、证明题（每题10分,共30分）：1 设群中元素的阶为,证明:.证明: 若, 则, 又由于, 故.反之, 若有, 则由于, 故, 从而.3. 在整数环中, 证明1) 若为的非零理想, 为中的最小正整数, 则.2) 若是个整数, 且, 则.证明：1) 由于是非零理想, 因此, 必含非零整数, 从而, 必含正整数. 设是中的最小正整数, 则对任意的, 必存在整数, 使, 其中或, 于是, 由于是理想, 故, 从而, 但是中的最小正整数, 于是有. 即, 因此, 而是显然的, 故.2) 由于，故，因而，，即. 又, 所以, , 使得, 因此, , 从而,因此.4. 设是一个有单位元的整环,,证明:1) 主理想与相等与相伴.2) 是的单位.证明: 1) 设, 则, 从而有, 使得, 于是. 若则, 从而与当然相伴. 若, 则, 即为单位, 从而与也相伴.反之, 若与相伴, 则存在单位, 使得, 于是, 但, 故, 故.2) 设, 即, 从而有1)知是单位.反之, 若是单位, 则, 从而近世代数练习题（E）一、填空题（每题5分，共40分）：1.若群中元素的阶为,且，则 .2.6阶循环群有个子群.3.置换的阶为 .4.在三次对称群中,子群的指数为 .5.模6的剩余类环的子环的特征为 .6.高斯整环的乘群为 .7.整数环的极大理想是否为素理想? .8.设分别为惟一分解整环、主理想整环与欧氏环的集合，则的关系为 .二、计算（10分）：设，求与.三、证明题（20分）：设是群的一个非空子集,, 证明:1. 是的子群.2. 是的正规子群.同态基本定理.四、证明题（每题10分,共30分）：1．设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.2．设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.3. 证明:整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.（E）参考答案一、填空题（每题5分，共40分）1． 1）；2. 4；3. 6 ；4. 2；5. 3；6. ；7. 是；8. .二、计算题（10分）：设，求与.解：.=.三、证明题（20分）：参见3.6节的定理6.四、证明题( 每题10分, 共30分)1．设群的阶子群有且只有一个,证明此子群必为的正规子群.证明: 设是的阶子群, 对任意的, 由于是的共轭子群, 因而也是的阶子群.由于的阶子群只有, 所以, 根据正规子群的定义, 知是的正规子群. 2．设环有单位元1, 又, 证明: 如果且在中有逆元, 则.证明: , 因为有逆, 所以, 即.从而, 故.3．证明：整数环上的多项式环是一个惟一分解整环.证明: 显然为整环且其单位只有. 其不可约元为全体(正、负)素数及次数大于0的本原不可约（在上）多项式。