，其中s，t 均为正整数.
推论2 在群中，若 | a | n ，则
| ak | n (k,n) 1.
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定理4
在群中，若 | a | m ，| b | n ，则当
ab ba 且 (m,n) 1 时，| ab | mn.
证明： | a | m ，| b | n ， ab ba
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(1)a


1 0
0 1
,
b


1 0
0
1

ab

ba


1 0
0 1
,
| a || b || ab |
2
(| a |,| b |) 1
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例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a


1 0
0 1
,
b


0 1
1 1
ab


0 1
1 1
,
ba


1 1
0 1

,
| a | 4,| b | 3,| ab |
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例4 U Ui ，其中 U i 是 i 次单位根群
i 1
，则 U 关于普通乘法作成无限交换群，
其中每个元素的阶都有限.
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定理2
若群 G 中 | a | n ，则 am e n | m .
证明： 令 m nq r ， 0 r n ，则 am anqr (an )q ar ar e
思考题：
设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
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(ab)mn (am )n (bn )m e 若 (ab)s e
(ab)sm (am )s bsm bsm e n | sm n | s
同理 m | s ， (m,n) 1 mn | s ，于是 | ab | mn.
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例5 |ab|一定等于|a||b|吗？
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定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2,,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
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注：
无限群中元素的阶可能无限，也可能有限， 甚至可能都有限.
r 0
m nq n| m
证明 G 中 | a | n ，只需证
(1)an e, （2）若 am e n | m.
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定理3
若群中 | a | n ，则 ak n
(n, k )
，其中 k 为任意的整数.
证明： (n, k) d
n dn1, k dk1, (n1, k1 ) 1
近世代数 第二章 群论 §2元素的阶
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元素的指数
在群 G 中，由于结合律成立， a1a2 an
有意义，据此, 可定义群的元素的指数: 设
n 为正整数, 则规定:
n
n
a0 e, an aa a , an a1a1 a1
显然有， aman amn
(am )n amn
例1
G {1,1,i,i} 关于数的普通乘法做成
4次单位根群.
1 1, 1 2,
i i 4
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例2 正有理数乘群 Q 单位元的阶是1， 其他元的阶均为无限.
例3 非零有理数乘群 Q 1的阶是1， -1的阶是2， 其余元的阶均为无限.
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(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )m e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m

ak
n1
n. (n, k)
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两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
，其中 m, n 为任意整数.
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定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
为无限.
显然，群中单位元的阶为1，其他元的阶
Байду номын сангаас都大于1， a a1 .
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