学习界的00755 ⎨x 2 + 4x +1, ⎨ ⎩( ) = 专题 07分类讨论思想在分段函数中的应用【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 主要涉及分段函数的求值、单调性和含参数的函数的单调性和最值问题.分类讨论思想，可培养逻辑思维能力和抽象思维能力和严密的思考问题的能力。

类型一 分段函数万能模板 内 容使用场景 分段函数解题模板第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 通过运算、变形，利用常见基本初等函数，将问题转化为几段加以求解； 第三步 得出结论.例 1 函数 f (x ) = ⎧log 2 x , ⎩x > 0x ≤ 0 ，若实数 a 满足 f ( f (a )) =1，则实数 a 的所有取值的和为（）A ．1B ．17 - C ． -15- D ．-2 1616⎧x + 2, x ≤ -1【变式演练 1】在函数 y = ⎪x 2, - 1 < x < 2 ⎪2x , x ≥ 2 中，若 f (x ) = 1 ，则 x 的值是（ ）A ．1B ．1或32⎧⎪x 2 , x ∈[0, +∞) 例 2 已知函数 f x ⎨ C ． ±1D ．在区间(-∞, +∞) 上是增函数,则常数 a 的取值范围是 ⎪⎩x 3 + a 2- 3a + 2, x ∈ (-∞, 0 ) （ ）A ． (1, 2)B ． (-∞,1] [2, +∞)C ． [1, 2]D ． (-∞,1) (2, +∞ )3f (x ) = ⎪ ⎩⎪ 1 ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 【变式演练 2】【甘肃省张掖市第二中学 2020-2021 学年高三第一学期 10 月月考数学（理）】已知函数⎧2 + log ⎨ 2x , 1 ≤ x < 1 8 ，若 f (a ) = f (b )(a < b ) ，则b - a 的取值范围为（ ）⎪2x ,1 ≤ x ≤ 2A ． ⎛ 0,3 ⎤B ． ⎛ 0,7 ⎤C ． ⎛ 0,9 ⎤D ． ⎛ 0,15 ⎤2 ⎥⎦4 ⎥⎦8 ⎦⎥8 ⎥⎦⎧(x - a )2, x ≤ 0, ⎪例 3 f (x ) = ⎨ 1 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值，则 a 的取值范围为（）.⎪⎩x + x+ a , x > 0,(A)[-1,2](B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0, 2]⎧x + 2- 3, x ≥ 1 【变式演练 3】已知函数 f (x ) = ⎨ x ，则 f ( f (-3)) = ， f (x ) 的最小值是．⎪⎩lg(x 2 +1), x < 1例 4 已知函数 y = f ( x ) 是二次函数，且满足 f (0) = 3 ， f (-1) = f (3) = 0（1）求 y = f ( x ) 的解析式；（2）若 x ∈[t , t + 2] ，试将 y = f ( x ) 的最大值表示成关于 t 的函数 g (t ) ．⎨⎛ ⎨ 2 【变式演练 4】【天津市静海区 2020-2021 学年高三上学期第一次月考】已知函数⎧a x , x > 1f ( x ) = ⎪ 4 - a ⎫ x + 2, x ≤ 1是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）⎪ 2 ⎪⎩⎝ ⎭A ． (1, +∞)B ． [4,8)C ．(4,8)D ． (1,8)例 5.设函数 f (x ) = x 2- ax + b , a , b ∈ R ．（1） 当 a = 2 时，记函数| f ( x ) | 在[0，4]上的最大值为 g (b ) ，求 g (b ) 的最小值；（2） 存在实数 a ，使得当 x ∈[0, b ] 时， 2 ≤ f ( x ) ≤ 6 恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．【变式演练 5】【2018 年全国普通考试理科数学（北京卷）】设函数 ƒ䝐ℨ⺁=[aℨ2 — 䝐4a + 1⺁ℨ + 4a + ௲]e ℨ．（1） 若曲线 y t ƒ ℨ 在点（1，ƒ䝐1⺁）处的切线与 ℨ 轴平行，求 a ；（2） 若 ƒ䝐ℨ⺁在 ℨ t 2 处取得极小值，求 a 的取值范围．【高考再现】⎧x 3 , 1.【2020 年高考天津卷 9】已知函数 f (x ) = ⎨x 0, 若函数 g (x ) = f (x ) - kx 2- 2x (k ∈ R ) 恰有 4个零点，则k 的取值范围是（ ）⎩-x , x < 0.A ． ⎛-∞, - 1 ⎫(2 2, +∞)B ． ⎛-∞, - 1 ⎫ (0, 2 2)2 ⎪ 2 ⎪ ⎝⎭⎝⎭C ． (-∞, 0) (0, 2 2)D ． (-∞, 0) (2 2, +∞)2【.⎧x 2 - x + 3, x ≤ 1,2017 天津理】已知函数 f (x ) = ⎪ x + , x > 1.设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 f (x ) ≥| x + a | 在 R 上恒成立， 2则 a 的取值范围是⎩⎪ x⎨2x, x > 0⎨（A ）[-47 , 2] 16 （B ）[- 47 , 39]16 16（C ）[-2 3, 2]（D ）[-2 3, 39]163. 【2016 高考浙江文数】已知函数 f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与 f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x 2 - x + 3, x ≤ 1,4. 【2017 年全国普通考试理科数学】已知函数 f ( x ) = { 2设 a ∈ R ，若关于 x 的不等式 x + , x > 1. x f ( x ) ≥ x+ a 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是2 A ． ⎡- 47 , 2⎤B ． ⎡- 47 ,39 ⎤C ． ⎡-2 3, 2⎤D ． ⎡-2 3,39 ⎤⎣⎢ 16 ⎥⎦⎣⎢ 16 16 ⎥⎦⎣⎦⎣⎢16 ⎥⎦⎧⎪1- x , x ≥ 05.【2015 高考陕西，文 4】设 f (x ) = ⎨ ⎪⎩ 2x, x < 0，则 f ( f (-2)) = （ ）A. -1B.14C.12D.32【反馈练习】1. 【江西省新余市第一中学 2021 届高三第四次模拟考试数学（文）】已知函数 f (x ) = ⎧1+ log 2 (-x ), x < 0，⎩ 则 f (-1) + f (1) = （）A ．2B ．3C ．4D ．52. 【广西北海市 2021 届高三第一次模拟考试数学（理）】已知函数 f (x ) = ⎧log 2 x , x > 0 ，则 f (1) - f (-1) =⎩3 - 4x , x ≤ 0（）A ．-7B ．2C ．7D ．-4⎩⎨1 ⎩ ( )⎪⎩⎭⎝ ⎭3. 已知函数 f ( x ) = ⎧(3 - a ) x - 7, x ≤ 8 ，若数列{a } 满足 a = f (n )(n ∈ N * )，且{a } 是递增数列，则实 ⎨a x -8 , x > 8 n n n 数a 的取值范围是（）A ． (1, 3)B ．⎡17 ,3⎫C ．⎛ 17 ,3⎫D ． [2,3)⎢⎣ 9 ⎪ 9 ⎪4【. ⎧ 云南省红河州 2021 届高中毕业生第一次复习统一检测数学（文）】已知函数 f ( x ) = ⎪1- x 2 , -1 ≤ x < 0- x , 0 ≤ x < 1，⎪ f ( x - 2), x ≥ 1 若函数 g ( x ) = f ( x ) - k (0 ≤ k ≤ 1) 的所有零点从小到大依次成等差数列，则 g ( x ) 的零点一定不包含（）A ． 2019 -22B ．2019C ．2020D ． 2020 +22⎧x 3 + a 2- 4 x + 4 - a , x > 0 5. 【宁夏银川一中 2021 届高三第四次月考数学（理科）】已知函数 f (x ) = ⎨ ，⎪⎩a x , x ≤ 0是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是（ ）A ．(1, 2) B ．(1, 3] C ．[2, 3] D ．[3, +∞)⎧e x - e - x , x > 0,6. 【河南省 2020 届高三（6 月份）高考数学（文科）质检】已知函数 f (x ) = ⎨-x 2 , x 0, 若a = 50.01,b = 3log 2, c = log 0.9 ，则有（ ）2 33A ． f (b ) > f (a ) > f (c )B ． f (c ) > f (a ) > f (b )C. f (a ) > f (c ) > f (b )D. f (a ) > f (b ) > f (c )7【. 2020 届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】已知函数 f ( x ) = ax + 1+ 2x 2+ ax -1（ a ∈ R ）的最小值为 0，则a = （ ）⎩ ⎨⎪ 1 2⎩A.12B. -1C ． ±1D ．± 128．【贵州省贵阳市四校 2021 届高三上学期联合考试】在区间[-2，2]随机取一个数x ，则事件⎧2x , ( x ≤ 0) ⎡ 1 ⎤“ y = ⎨x +1, (x > 0)，且y ∈ ⎢⎣ 2 , 2⎥⎦ ”发生的概率为（ ）7531A ．8 B ．8C ．8D ． 29【. ⎧ log 2 x , x > 0 安徽省宿州市泗县第一中学2020 届高三下学期最后一卷数学（文）】已知函数 f ( x ) = ⎪ ， x + x + 2, x ≤ 0 ⎩ 4x x x 2 + x x 2方程 f ( x ) = a 有四个不同根 x ， x ， x ， x ，且满足 x < x < x < x ， 则 4 - 1 3 2 3 的取值范围是1 2 3 4 1 2 3 43（）A ． ⎡2 2, +∞)⎡ 129⎤ B ．2 2,C ． ⎛ 9 , +∞ ⎫D ． ⎛ 9 ,129 ⎫⎣⎢⎣8 ⎥⎦2 ⎪ 2 8 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭10．【上海市闵行区 2021 届高三上学期一模】已知定义在[0, +∞) 上的函数 f (x ) 满足f ( x ) = ⎧⎪15 - x -1 , 0 ≤ x < 2 .设 f (x ) 在[2n - 2, 2n )(n ∈ N *) 上的最大值记作 a ， S 为数列{a }的前 n ⎨⎪ f ( x - 2) - 2, x ≥ 2 项和，则S n 的最大值为 .n n n x 2。