理论力学
第二部分 运动学 运动学基础(一)
第二部分 运动学
• 引论 1. 运动学的任务 运动学(kinematics)研究物体在空间的 位置随时间变化的几何性质。 运动学只从几何方面来描述物体的运 动,而不考虑与运动有关的物理因素。运 动学的特征量是位置、速度、加速度和 轨迹等。
2. 力学模型
动点(point) 刚体(rigid body)
2 2 2
aτ = dv/dt = 0
an = a − aτ = a = rω
2 2
2
因此
v c ρ= =r+ 2 an rω
2
2
用建立运动方程的方法求解点的运动学 问题的解题步骤:
1. 分析动点的运动轨迹, 建立适当的坐标系; 2. 根据已知的运动学条件和约束的几何关系, 将 动点在任意时刻的坐标表示为时间的函数; 3. 应用所选择的坐标类型的相应公式, 计算动点 的速度和加速度。
r
j y
r = xi + yj + zk
点的运动方程的直角坐标形式
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
上述方程也是以t为参数的参数形式的轨迹方程, 消去时间t,即可得到直角坐标表示的轨迹方程的 显形式。 直角坐标表示的动点M的元位移dr :
dr = dxi + dyj + dzk 2. 点的速度
∆r dr • = =r v = lim ∆t→0 ∆t dt
dx dy dz v= i+ j+ k dt dt dt
动点的速度在各坐标轴上的投影分别为
vx = x 3. 点的加速度
•
vy = y
•
vz = z
•
由此即可确定速度矢量的大小和方向。
2
2
于是有滑块B的运动方程
xB = r cos ωt + l − (r sin ωt + h)
2
2
故滑块B的速度等于
dxB rω cos ωt (r sin ωt + h) = − rω sin ωt − vB = 2 2 dt l − (r sin ωt + h)
滑块B的加速度(略)。
例2. 已知固定大圆环的半 径为R, 杆AB绕A转动, φ = ωt, 求小圆环M的直角坐标 运动方程、速度和加速度。 A 解: 引入平面直角坐标系 如图示, t时刻M的坐标为
dv •• dτ a= = sτ + v dt dt
式中:
dτ dτ dϕ ds v dτ = = dt dϕ ds dt ρ dϕ
由下图不难看出: ︱∆τ /∆φ︱→ 1, 且∆τ 的极限 方向沿M点的主法线方向。即有 τ' ∆τ τ' ∆φ n
M'
τ 因此
M
dτ =n dϕ
a = sτ +
••
∆ϕ dϕ = k = lim ∆s→0 ∆ s ds
曲线在M点处的曲率是曲线在该点弯曲程度的量 度,它的倒数具有长度的量纲,称为曲率半径(radius of curvature) ,即
1 ds ρ = = dϕ k
O 曲率圆(circle of curvature)、 曲率半径及曲率中心(center of curvature)的几何意义
纪课程教材）
4. Engineering Mechanics
DYNAMICS (Second Edition), Andrew Pytel , Jaan Kiusalaas 清华大学出版 社(影印版)
4 运动学基础
主 要 内 容
4.1 点的运动学 4.1.1 矢量表示 4.1.2 直角坐标法 4.1.3 自然法 4.2 刚体的简单运动 4.2.1 刚体的平动 4.2.2 刚体的定轴转动
v
2
ρ
n
a = sτ +
a τ= s
••
••
v2
ρ
n
an= v2/ρ
aτ和an分别称为动点M的切向加速度(tangential aτ沿M点处轨迹的切线方向,反映了速度大 an的方向永远指向曲率中心,反映了速度方
acceleration)和法向加速度(normal acceleration)。 小随时间的变化率。
v = 2Rω
ax = x =－4Rω2 cos 2ωt ay = y
••
••
y
=－4Rω2
sin 2ωt
A
M
B
θ φ O
x
a = 4Rω2
例3. 已知固定大圆环的半 径为R, 杆AB绕A转动, φ = ωt, 求小圆环M的弧坐标运 动方程以及速度和加速度。 A 解: 引入弧坐标如图示, t 时刻M的坐标为
向随时间的变化率,恒为正值。
例1. 图示曲柄连杆机构,已知r、l、h, φ = ωt, 求滑块B的运动方程、速度和加速度。 A r O φ h l B
A r O O’ φ h l B x
解: 滑块B作直线运动,引入固定坐标轴 x 如图示, 考虑B在任意位置的坐标:
xB = r cos ϕ + l − ( r sin ϕ + h)
即动点的瞬时加速度等于它的速度对时间的一 阶导数, 或其矢径对时间的二阶导数。 注意加速度a的方向,应为∆t→0时∆v的极限方 向,一般说来它并不在速度方向上,除非是动点作 直线运动。
4.1.2 直角坐标法
1. 运动方程
动点M的矢径r在空间 固定直角坐标系Oxyz上 的投影表达式为 k O i x z M (x,y,z)
s
M (+)
弧坐标(arc coordinate of a directed curve): s 点的运动方程的自然形式:
s = s(t)
■ 空间曲线的曲率
空间曲线上的弧段MM'的平 均曲率定义为:
M'
k*= ∆φ/ ∆s
平均曲率反映了弧段MM'的弯曲程度。
∆φ
∆s
M
当M' →M时, 弧长∆s →0, 对∆φ/ ∆s 取极限, 得曲 线在M点处的曲率(curvature):
2. 点的速度 dr dr ds • dr = =s v= ds dt ds dt
注意到
dr/ds = τ
• v = sτ
?
O
(+) r(t) r(t+∆t)
τ
∆s<0 ∆s>0
M M'
τ
M' M
∆r r(t+∆t) r(t)
3. 点的加速度
(－)
dv •• dτ a= = sτ + v dt dt
dv d x d y d z a= = 2 i+ 2 j+ 2 k dt dt dt dt
2
2
2
ax = vx= x
•
••
ay = vy= y
•
••
az = vz= z
•
••
4.1.3 自然法
1. 运动方程
以点的轨迹作为一 条曲线形式的坐标轴 (弧坐标)来确定动点位 置的方法称为自然法。 (–) O
• vx = x =－rω sin ωt • vy = y = rω cos ωt • vz = z = c •• ax = x =－rω2 cos ωt •• ay = y =－rω2 sin ωt
v = r ω +c
2 2
2
a = rω2
az = z = 0
••
又由
v = r ω + c = const
习题: P.154 7-3,4,5,7,12
M'
ρ
M M''
■ 自然轴系
轨迹曲线在M点 处的曲率园所在的 平面称为曲线在该 点的曲率平面或密 切面(osculating plane)。
副法线
τ×n b=
主法线
(－)
b M
n τ
密切面
(+)
切线
由M点处的曲线的切线、主法线和副法线组成 的正交标架称为自然轴系(trihedral axes of a space curve)。其单位矢量(τ, n, b)称为自然轴系的基矢 量。
3. 参考系
参考体(reference body) 参考系(reference system) 所谓相对于参考系的运动,即是在参考系上的观 察者所观察到的运动,或者说是将参考系当作“静 止的”,来研究物体的运动。
由于同一物体相对不同的参考系的运动是不同 的, 故不明确指出指出参考系, 论及物体的运动是 毫无意义的。 工程上通常以大地为参考系。
(+)
τ
M
B
φ
n θ
s
O
s = Rθ = 2Rφ 运动方程为: s = 2Rωt a τ= s = 0 a = 4Rω2
••
v = s = 2Rω an= v2/ρ = 4Rω2
•
例4.
已知动点M的运动方程:
x = r cos ωt,
解: M的速度为
y = r sin ωt,
z = ct
求轨迹的曲率半径。
4 运动学基础
4.1 点的运动学
点的运动学研究动点在空间的几何位置随时 间变化的规律。
4.1.1 矢量表示 1. 运动方程
点的位矢(position vector): r 点的运动方程的矢量形式:
M
r
O
r = r(t)
位矢 r 的末端相对 参考系描出一条连续 曲线,称为矢端曲线, 也就是动点M的轨迹 (trajectory)。