1.2 相关系数1．了解回归分析的概念和最小二乘法的求法及作用．2．理解相关系数的含义及求法．3．了解回归分析的基本思想．会建立回归模型，并能利用回归分析进行有效预测．1．变量间的关系往往会表现出某种不确定性，________就是研究这种变量之间的关系的一种方法，通过对变量之间关系的研究，从而发现蕴涵在事物或现象中的某些规律．【做一做1】下列两变量中具有相关关系的是( )．A．正方体的体积与边长B．人的身高与体重C ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间D ．球的半径与体积2．假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，我们可用____________求变量之间的线性回归方程y ＝a ＋bx ，即求a ，b ，使这n 个点与直线y ＝a ＋bx 的“距离”平方之和最小，即使得Q (a ，b )＝(y 1－a －bx 1)2＋(y 2－a －bx 2)2＋…＋(y n －a －bx n )2达到最小．3．Q (a ，b )＝l yy ＋n [y －(a ＋b x )]2＋l xx ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －l xy l xx 2－xxy xx l l 2.其中x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n＝1n∑i ＝1nx i ，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n＝1n∑i ＝1ny i ，l xx ＝∑i ＝1n (x i －x )2＝∑i ＝1nx 2i －n x2，l xy ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )＝∑i ＝1nx i y i －n xy ，l yy ＝∑i ＝1n(y i －y )2＝∑i ＝1ny 2i －n y2.当Q (a ，b )取最小值时，b ＝____________，a ＝________.y 对x 的线性回归方程为__________，此直线一定过点______．公式比较复杂难记，只需记住a，b的求值公式即可．做题要细心，不可遗漏数据，使用公式计算时，可通过列出表格，进行计算，表格如下：【做一做2－1】已知x与y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y＝bx ＋a必过点__________．【做一做2－2】已知三个样本点(3,10)，(7,20)，(11,24)，求出其线性回归方程．4．判断两个变量之间的线性相关关系的方法有(1)________________________；(2)______________________．两个变量之间是否有线性相关关系，可以通过画散点图直观判断，但是在某些情况下，从散点图中不容易判断变量之间的线性相关关系，特别是当数据量较大时，画散点图比较麻烦，此时就可以通过计算，用线性相关系数r来作出判断，比较容易实施．5.假设两个随机变量的数据分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，则变量间线性相关系数r的计算公式为r＝__________________.线性相关系数|r|≤1，|r|越大，变量之间的线性相关程度越高，用直线拟合的效果就越好．线性相关系数r 的计算公式虽然比较复杂，但是可以分开计算．因为在求线性回归方程时，也要计算x ，y ，∑i ＝1nx i y i 和∑i ＝1nx 2i 等量，只需再把∑i ＝1ny 2i 计算出来即可．通常是通过列表格来完成上述各项的计算．【做一做3】 在建立两个变量y 与x 的线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关系数r 如下，其中拟合得最好的模型是( )．A ．模型1的相关系数r 为0.98B ．模型2的相关系数r 为0.80C ．模型3的相关系数r 为0.50D ．模型4的相关系数r 为0.25答案：1．回归分析【做一做1】 B 选项A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系；选项C 中匀速行驶的车辆的行驶距离与时间成正比，也有函数关系；选项D 中球的体积是43π与半径的立方相乘，有固定的函数关系．所以只有选项B 中人的身高与体重具有相关关系．2．最小二乘法3.l xy l xx＝∑i ＝1nx i －x y i －y∑i ＝1nx i －x2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x2y －b x y ＝a ＋bx (x ，y )【做一做2－1】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 线性回归方程一定过点(x ，y )，又x ＝14×(0＋1＋2＋3)＝32，y ＝14×(1＋3＋5＋7)＝4，∴线性回归方程必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.【做一做2－2】 分析：样本点共有三个，可以直接计算．解：由所给数据可得：x ＝7，y ＝18，∑i ＝13x i y i ＝434，∑=312i ix＝179，进而可以求得b＝∑i ＝13x i y i －3xy∑i ＝13x 2i －3x2＝434－3×7×18179－3×49＝1.75，a ＝y －b x ＝18－1.75×7＝5.75.∴线性回归方程为y ＝5.75＋1.75x . 4．(1)画散点图 (2)计算线性相关系数5.∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2∑i＝1ny2i－n y2【做一做3】A1．求线性回归方程的一般步骤剖析：(1)作散点图：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，在坐标系内作出散点图，并观察各样本点是否呈条状分布，是否都分布在一条直线的两侧．若是，则可设其线性回归方程为y＝a ＋bx.(2)列表：对于所给出的数据x，y列成相应的表格.(3)计算：x＝1n∑ni＝1x i，y＝1n∑ni＝1y i，b＝∑∑==--niiniiix nxyx nyx1221，a＝y－b x.(4)写出回归方程：y＝a＋bx.2．样本的选取是否影响两个变量的线性回归方程剖析：会影响．这是因为我们所采集的样本只是两个变量之间的部分数据的关系，而且它们的散点图分布在某一条直线的附近，不一定就在直线上，所以不能用某个一次函数y＝a＋bx来准确地表达它们之间的关系，我们只能近似地看作两个变量之间满足线性关系，符合一个一次函数y＝a＋bx，而将x＝x i代入时，得到y的值与所测得的y i之间存在着一定的误差，误差为y i－y＝y i－(a＋bx i)＝y i－a－bx i(i＝1,2，…，n)，那么，我们要想用y＝a ＋bx拟合得好一点，就要使误差小一点．但不能把这些误差直接相加，这是因为它们有正有负，相加可能抵消一部分，为了不使误差之和正负抵消，我们可设全部误差的平方和为Q(a，b)，即Q(a，b)＝∑ni＝1(y i－a－bx i)2，用Q的大小来度量总的误差大小，Q是a，b的二元函数．当b＝∑ni＝1x i y i－n x y∑n i＝1x2i－n x2时，Q(a，b)最小，此时a＝y－b x.由此看来，所取的样本点不同，有可能得到的线性回归方程不同．题型一求线性回归方程【例题1】一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下表所示：(1)求y对x的线性回归方程；(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？反思：计算线性回归方程比较麻烦，对于样本点较少的情况可直接代入公式计算求值．实际问题中的数据都不好算，一般要借助计算器来完成．题型二计算线性相关系数【例题2】某工厂有一大型机器设备，其使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：请问维修费用y与使用年限x之间是否具有线性相关关系？如果具有，请求出线性回归方程．分析：本题为探索两个变量之间是否具有线性相关关系的题型，可通过计算线性相关系数来加以判断，因为数据比较多，可列表分项计算．反思：对于数量比较多的数据判断它们相应的变量是否线性相关，可通过计算线性相关系数来判断．题型三利用回归分析进行有效预测【例题3】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系，现随机测得10对母女的身高，所得数据如下表所示：(1)试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm时，女儿的身高为多少？(2)求相关系数r，并分析模型的拟合效果．分析：通过观察两变量对应的数据，可判断x与y之间存在线性相关关系，通过列表计算，求出回归方程，并通过计算线性相关系数来判断两变量的线性相关程度．反思：一个模型拟合得好不好，可通过计算线性相关系数r来判断，|r|的值越接近于1，变量之间的线性相关程度越高，拟合得越好．答案：【例题1】解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算.设所求的回归直线方程为y＝bx＋a.同时，利用上表可得b＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10 i＝1x2i－10x2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a＝y－b x≈91.7－0.668×55＝54.96，即所求的线性回归方程为y＝0.668x＋54.96.(2)这个线性回归方程的意义是当x增大1时，y的值约增加0.668，而54.96是y不随x增大而变化的部分．因此当x＝200时，y的估计值为y＝54.96＋0.668×200＝188.56≈189.故加工200个零件时所用的时间约为189分．【例题2】解：列表：由此可得：x ＝5，y ≈6.185 7，∑i ＝17x i y i ＝251.1，∑i ＝17x 2i ＝203，∑i ＝17y 2i ＝311.51.∴线性相关系数r ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x2∑i ＝17y 2i －7y2≈251.1－7×5×6.185 7203－7×52×311.51－7×6.185 72≈0.989 5.∴维修费用与使用年限之间存在线性相关关系．b ＝∑i ＝17x i y i －7xy∑i ＝17x 2i －7x2≈251.1－7×5×6.185 7203－7×52≈1.235 7，a ＝y －b x ≈6.185 7－1.235 7×5＝0.007 2，∴线性回归方程为y ＝0.007 2＋1.235 7x . 【例题3】 解：列表：(1)由表可得x ＝158.8，y ＝159.1，∑i ＝110x 2i ＝252 222，∑i ＝110y 2i ＝253 185，∑i ＝110x i y i ＝252688，进而可以求得b ＝∑10i ＝1x i y i －10xy∑10i ＝1x 2i －10x2＝252 688－10×158.8×159.1252 222－10×158.82≈0.78，a ＝y －b x ＝159.1－0.78×158.8≈35，∴线性回归方程为y ＝35＋0.78x .当x ＝161 cm 时，y ＝160.58 cm ，即女儿的身高为160.58 cm.(2)r＝∑10i＝1x i y i－10x y∑10i＝1x2i－10x2∑10i＝1y2i－10y2＝252 688－10×158.8×159.1252 222－10×158.82×253 185－10×159.12≈0.715，说明模型拟合得效果较好．1由一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的线性回归方程为y＝a＋bx，则下列说法正确的是( )．A．直线y＝a＋bx必过点(x，y)B．直线y＝a＋bx至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一点C．直线y＝a＋bx是由(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的两点确定的D．(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)这n个点到直线y＝a＋bx的距离之和最小答案：A 正确理解线性回归方程的含义，所求的线性回归方程并不一定要经过这n个样本点中的某些点，而是这n个点到直线的距离的平方和最小，即用最小二乘法求出线性回归方程中a，b的值，由于a＝x by-，即x bay+=，由此可以看出(x，y)适合线性回归方程y＝a＋bx，所以直线y＝a＋bx必过点(x，y)．2对于线性相关系数r ，下列说法正确的是( )．A ．r∈(－∞，＋∞)，r 越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱B ．|r|∈(0，＋∞)，|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱C ．|r|≤1，且|r|越大，相关程度越强；反之，相关程度越弱D ．以上说法都不正确答案：C 熟记关于线性相关系数r 的重要结论是解决此类问题的关键．3某工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料的有效成分含量x 之间的相关关系，现取8对观察值，计算得∑-=8152i i x ，∑-=81228i i y ，∑-=8121478i x ，∑-=811849i i i y x ，则y 对x 的线性回归方程为( )．A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x答案：A 由已知条件，得x ＝6.5，y ＝28.5，代入，得b ＝∑∑==--8122818y8i ii i i xx x y x ＝25.684785.285.681849⨯-⨯⨯-≈2.62，a ＝y －b x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴线性回归方程为y ＝11.47＋2.62x .4(2012·太原一模)下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由其散点图，可知用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是________________________________________________________________________．答案：y ＝－0.7x ＋5.25 由已知，得x ＝2.5，y ＝3.5，∑=412i i x ＝30，∑=41i i i y x ＝31.5，所以b ＝∑∑==--4122414y4i ii i i xx x y x ＝－0.7.所以a ＝y －b x ＝5.25.所以线性回归方程是y ＝－0.7x ＋5.25.5某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y(单位：元)的对应数据如下表所示：求y 关于x 的线性回归方程，要使售价不超过16元，则进价应不超过多少？ 解：由表中数据可得：x ＝6.5，y ＝8.327612=∑=i i x ，∑=61i i i y x ＝396，进而可以求得b ＝∑∑==--6122616y 6i i i i i xx x y x ＝25.6632785.66396⨯-⨯⨯-≈1.143，a ＝y －b x ≈8－1.143×6.5＝0.570 5.∴所求的线性回归方程为y ＝0.570 5＋1.143x . 由y ≤16，即0.570 5＋1.143x ≤16. 解得x ≤13.5，所以进价应不超过13.5元．。