第四节有阻尼自由振动
（Damped Free Vibration）
前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。
实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。
振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。
尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。
一、粘性阻尼（Viscous Damping）
------------- 最常见的阻尼力学模型
在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。
粘性阻尼力与相对速度成正比，即
=&
F cx
F--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度
⋅
c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m
二、粘性阻尼自由振动
()
k x
∆+
以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。
由牛顿运动定律，得运动方程
mx cx kx
++=
&&&（2-10）
设方程的解为
()st
x t Ae
=
代入式（2-10），得
2
()0
st
ms cs k Ae
++=
因为0
A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为
20
ms cs k
++=（2-11）
------ 系统的特征方程（频率方程）
它的两个根为
1,22
c
s
m
=-±（2-12）
则方程（2-10）的通解为
1211212s t s t c t m
x A e A e e
A A e
=+⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝
⎭
（2-13）
式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件
00(0),(0)x x x x ==&&
确定。
显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于
是实数、零，还是虚数。
当
2
02c k m m
⎛⎫
-= ⎪⎝⎭ 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。
因此
02n c m ω==
令
02n
c c c
c m ζω===
叫做阻尼比。
∵
022n c c m m
ζζω==
∴ 式（2-12）可写成
(
1,2n s ζω=-± （2-14）
可见1s 和2s 的性质决定于ζ的值。
1. 1ζ
> (c >
系统称为过阻尼系统（强阻尼）。
运动方程的解为
()
1
2n n n t
t
t
x e
A A e
ζω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期蠕动。
2. 1ζ
= (c =
系统称为临界阻尼系统。
运动方程的解为
()12n t
x e
A A t ω-=+
这是一种按指数规律衰减的非周期运动。
3. 1ζ<
(c <
系统称为弱阻尼系统（欠阻尼）。
式（2-12）可写成
(1,2n s ζω=-±
令
d
n ω= --- 有阻尼固有频率
故运动方程的解为
()1
2n d d t
j t
j t
x e
A e
A e
ζωωω--=+
由欧拉公式cos sin j e
j θ
θθ±=±，则上式可写为
()12cos sin n t d d x e C t C t ζωωω-=+
式中1C 和2C 是待定常数，由初始条件确定。
设0t
=时，有
00(0),(0)x x x x ==&&
则系统对初始条件的响应为
00
0cos sin n t
n d d d x x x e
x t t ζωζωωωω-⎛⎫+=+
⎪⎝⎭
& （2-18） 上式也可写为
()sin n t d x Ae t ζωωϕ-=+
其中
000,d n x A tg x x ωϕζω==+&
A
因
max n t
x Ae
ζω-=
所以响应的振幅被限制在曲线n t
Ae
ζω-±之内，随时间而逐渐
衰减。
因而有阻尼系统的自由振动是衰减振动，当t →∞，
0x →
，振动最终消失。
阻尼对自由振动的影响:
（1）设无阻尼系统的自由振动振动周期为2n
n
T π
ω=
有阻尼系统的自由振动振动周期为
22d
T π
πω=
=
可见：阻尼使自由振动的周期增大，频率降低。
当阻尼较小时，例如
0.05 1.001250.999n d n T T ζωω=== 0.2 1.020.980n d n T T ζωω===
所以在阻尼较小时，阻尼对周期和频率的影响可以忽略不计。
（2）设相邻两次振动的振幅分别为i x 和1i x +，则振幅比为
()1n i
n n i t T
i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++===
式中η称为减幅系数。
可见阻尼比ζ越大，减幅系数η就越大，振幅衰减得就越快。
例如
10.05 1.37
0.73i i x x ζη+===
即每一个周期内振幅减小27﹪.由此可见，即使阻尼较小时，振幅的衰减也是很快的。
例题2-8 一刚体质量为10kg ，用一块橡胶和一层毛毡支
承在地板上，如图所示。
已知毛毡的刚度
12000f k N m =，阻尼系数330f c N s m =⋅；橡胶的
刚度3000r
k N m = N/m ，阻尼系数100r c N s m =⋅。
求系统的等效刚度、等效阻尼系数和阻尼比。
c k f
c
解：两块毛毡和橡胶垫可看作串联。
则系统的等效刚度
3000120002400300012000
r f eq r f k k k k k ⨯⨯===++ （N m ）
系统的等效阻尼系数
10033076.6100330
r f eq r f c c c c c ⨯⨯==≈++ （N s
m ⋅）
阻尼比
0.248c ζ==≈
例题： 一阻尼缓冲器，静载荷P 去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％，求缓冲器的阻尼系
数。
解：由题知
(0)0
x =&，设
0(0)x x =， 系统的响应为
0(cos sin )n t
n d d d
x x e
x t t ζωζωωωω-=+
速度为
22020()sin sin n n t n d d d
n t d d
x x e t x e t
ζωζωζωωωωωωω--=-+=-&
设在时刻1t 质量m 越过平衡位置到达最大位移，这时速度为
1
1200sin n n t d d
x x e
t ζωωωω-==-
&
解得 1d
t π
ω=
对应的最大位移为
1
1100()n t x x t x e
x e
ζω-==-=-由题知
1
0.1x e x ==
解得
0.59ζ=≈
第五节 对数衰减率
测定阻尼自由振动的振幅衰减率是确定振动系统阻尼的一个常用的方法。
已知减幅系数为
()1n i n n i t T i t T i x Ae e x Ae
ζωζωζωη--++=== 则对数衰减率为
1
ln i n i x T x δζω+==
将有阻尼系统的自由振动振动周期22d T
πω==代入上式，得
2πζ
δ= （2-22）
当阻尼很小时（0.2ζ≤）
2δπζ≈ （2-23）
上式提供了根据实验测定的振幅衰减曲线的对数求阻尼系数的方法。
在相继的n 次振动中，振幅1x 、2x ，…，n x 有如下关系
12231
n T n n x x x e e x x x ζωδ+=====L
因而有
1121231
n n n n x x x x e x x x x δ++=⋅=L ∴ 11
1ln n x n x δ+= （2-24）。