0.25 0.375
0.5
max
2
1
1 2
0
1
1 2 2 0
0
1
1
2
s
3
（6）当 1 , 1 结论：振幅无极值
2
max
1
2
Q
Q为系统的品质因数
阻尼越弱，Q越大，带宽越窄，共振峰越陡峭
三、稳态响应的特性
以s为横坐标 (s曲) 线
(s) tan1 2 s
1 s2
相频特性曲线
（1）当s<<1（ ）0
拍的周期：
0
x(t )
B 2
sin
0t
图形包络线：
0 B
B
2
sin
0t
2
0
B
2
sin 0t
t
2 0
阻尼自由振动 x(t) e0t Asin(dt )
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
当 0
x(t)
B
2
sin
0t
cos0t
B
2
0t
cos0t
1 2
B0t
c
os0t
随 t 增大，振幅无限增大，无阻尼系统共振的情形。
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
B 1 s2
cos t
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
相同
不同
mx kx F0 sin t 的全解：
x(t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
考虑零初始条件，有：
非齐次微分方程 特解
阻尼自由振动 逐渐衰减 暂态响应
持续等幅振动 稳态响应
&x& c x& k x F0 eit mm m
&x& 20x& 02x B02eit
0
k m
c
（系统的阻尼比）
2 km
B F0 静变形 k
设非齐次方程的特解，即稳态响应：
x(t) Aei(t ) x(t) iAei(t ) x(t) A e2 i(t )
（2）当s>>1（ 0）
激振频率相对于系统固有频率很高
0 结论：响应的振幅很小 x(t) B ei(t )
（3）在s>>1，s<<1领域
(s)
对应于不同值对应于不同值,曲线 5
0 0.1
较为密集，说明阻尼的影响不显著 4
结论：系统可以按无阻尼情况考虑 3
x
B 1 s2
eit
2 1
0.25 0.375
s 系统的频率比； 0
A B系统的稳态响应的实振幅；
A B= F0
1
m (1 s2 )2 (2 s)2
(s) A 系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（系统的幅频特性）； B
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（系统的相频特性）。
x(t)
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
若激励频率与固有频率十分接近 s 1 0
令： s 1 2 ε 小量
s 1 2 代入：
x(t)
B 1 s2
(sint
s
sin 0t)
1
(4
B 2
4
1)
(sin
t
s
sin
0t)
B
4
(s in t
s sin 0t)
B
4
[sin(1
2 )0t
sin 0t]
m m ml
(2)
0
9k =3 k mm
2c
m
2c 0 3 mk
B F0 kl
当 0时 振幅（最大摆角)
&& 4c & 9k 9F0 sint
m m ml
Amax
B
s1
B
2
F0 3 mk 2kl 2c
3F0 4cl
m k
s 0
质点的振幅
B
l 3
Amax
3F0 4c
m k
2 2c
(s) arctan 2 s 1 s2
arctan
3 mk 9k m
1
2 9k m
四、受迫振动的过渡阶段
在系统受到激励开始振动的初始阶段，其自由振动伴随受迫 振动同时发生,系统的响应是暂态响应与稳态响应的叠加 。
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
非齐次微分方程 特解
mx cx kx kAsin t
x x1 Asin t
c
k
m
其稳态响应为：x kA
1
sin(t )
k (1 s2 )2 (2 s)2
cx m kx1 x
s
0
,
0
k, m
2
c, km
arctan
2 s
1 s2
mx
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
tan
1
2 s
1 s2
A2ei(t )
i20 Aei(t )
02 Aei(t )
F0 k
02eit
即
A2
i20 A
A02
F0 k
0ei
欧拉公式： ei(t ) cos(t ) i sin(t )
A(02
2)
i2A0
F0 k
02 (cos
i
sin )
s
0
A(02
2)
F0 k
02
cos
2 A0
F0 k
s
0
B F0 k
tg 1
2s
1 s2
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
x(t)
e 0t
(x0
cosd t
x0
0 x0 d
sin d t)
初始条件响应
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
X ：稳态响应的复振幅
x& i Xeit &x& -2 Xeit
-m2 X ic X kX F0
X k-m2 ic F0
X
F0
k-m2 ic
X H ()F0
H ()
1
复频响应函数
k m 2 ic
振动微分方程：
x
2
0
Байду номын сангаас
x
2 0
x
B
2 0
e
it
0
k m
c
2 km
B F0 k
相位差 0
位移与激振力在相位上几乎相同;
（2）当s>>1（ ）0
（3）当
s
位移与激振力反相;
1 0 共振时的相位差为
2，与阻尼无关.
ω/ω0＜1时响应同相， ω/ω0＞1时响应反相。
x(t) B 1 s2 eit
例题3：已知等效质量m且可简化于杆长l 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3
B
4
(s in 0t
cos20t
cos0t
sin
20t
sin 0t)
B
4
cos0t
sin
20t
B
4
cos0t
2sin 0t
cos0t
B
2
sin
0t
cos0t
s 0
x(t)
B
2
sin 0t
cos0t
可看作频率为 但0 振幅按
B
2
si规n 律0缓t 慢变化的振动。
这种在接近共振时发生的特殊振动现象称为”拍”。
例： 计算初始条件，以使 mx kx F0 cost
的响应只以频率 振动。
解：
全解：
x(t)
c1
cos 0t
c2
sin
0t
B 1 s2
cos t
B
由 x(0) x0
c1 x0 1 s2
求一阶导数：
x(t)
c10
sin
0t
c20