第八章
平面解析几何
第3课时
圆的方程
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1．圆的定义、方程 (1)确定一个圆的基本要素有哪两个？ 圆心和半径 提示：_________________ (2)圆的标准方程、一般方程分别是什么？ 2＋(y－b)2＝r2(r>0)；x2＋y2＋Dx＋Ey＋ ( x － a ) 提示：_____________________________________________
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求与圆有关的轨迹问题时， 根据题设条件的不同常采用以下 方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程． (4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的 关系式等．
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(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 ①________________________ ⇔点在圆上；
2＋(y －b)2>r2 ( x － a ) 0 0 ②_______________________ ⇔点在圆外； 2＋(y －b)2<r2 ( x － a ) 0 0 ③______________________ ⇔点在圆内．
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2．已知实数x，y满足(x－1)2＋y2＝4，求x－2y的最小值与最 大值．
解：设 z＝x－2y，也就是 x－2y－z＝0. 由已知，圆心(1，0)到该直线的距离不大于圆的半径 2， |1－z| 即 2 ≤2， 2 1 ＋（－ 2） 解得 1－2 5≤ z≤1＋ 2 5， ∴(x－2y)min＝ 1－2 5，(x－2y)max＝1＋2 5.
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与圆上点 (x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法： y－ b (1)形如 u＝ 型的最值问题，可转化为过点 (a，b)和点 (x， x－a y)的直线的斜率的最值问题． (2)形如 t＝ax＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的 最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－ b)2 型的最值问题，可转化为动点到定 点的距离平方的最值问题．
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弦长问题
(2013· 高考安徽卷)直线 x＋2y－5＋ 5＝ 0 被圆 x2＋ y2 － 2x－4y＝0 截得的弦长为( C ) A． 1 B．2 C． 4 D． 4 6
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[解析 ]

依题意，圆的圆心为 (1，2)，半径 r＝ 5，圆心到直
|1＋ 4－ 5＋ 5| 线的距离 d＝ ＝ 1，所以结合图形可知弦长的 5 一半为 r2－ d2＝ 2，故弦长为 4.
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2．直线 l 经过点 P(5， 5)，其斜率为 k(k∈R)，l 与圆 x2＋y2 ＝ 25 相交，交点分别为 A、 B.若 AB＝ 4 5，则 k 的值为 1 或2 ． ________ 2 解析：直线 l 的方程为 y－5＝k(x－5)， 即 kx－ y＋ 5(1－ k)＝ 0. 设圆 x2＋ y2＝25 的圆心 O(0， 0)到 l 的距离为 d，则 d＝ |5（ 1－ k） | ， 2 k ＋1 2 25 （ 1 － k ） 10 2k 2 2 ∴ AB＝ 2 r － d ＝ 2 25－ ＝ 2 . k2＋1 k ＋1
2 2 D E D ＋ E － 4F － ，－ 4F>0，其圆心为 ，半径 r＝ . 2 2 2
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2．点与圆的位置关系
点 与_______ 圆心 的距离与半径的大小关系． (1)理论依据：______
(2)三个结论： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点 M(x0，y0)
2＋E2－4F>0) F ＝ 0( D ____________________________________
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温馨提醒：(1)圆的标准方程明确地表现出圆的几何要素， 即 圆心坐标和半径长． (2)方程 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0 表示圆的条件是 D2＋ E2－
1－ D＋ F＝0， 9＋9－3D＋3E＋F＝0，
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25 E ＝－ ， 解得 3 F＝－5.
D＝－4， 25 ∴A、B、C 三点确定的圆的方程为 x ＋y －4x－ y－5＝0. 3
2 2
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与圆有关的最值问题
已知 M 为圆 C： x2＋ y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点， 且点 Q(－2，3)． (1)求 |MQ|的最大值和最小值； n－ 3 (2)若 M(m，n)，求 的最大值和最小值． m＋ 2
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本考题源于教材人教 A 版必修 2 P132 习题 A 组 T “求直线 l： 5 3x－y－6＝0 被圆 C：x2＋y2－2x－ 4y＝0 截得的弦 AB 的 长．”的变式．
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1． (2014· 山东济宁高三质检)若直线 2ax－by＋ 2＝ 0(a>0， b<0) 被圆 x2＋ y2＋2x－ 4y＋1＝0 截得的弦长为 4，则 ab 的最大 值是( A ) 1 A. 4 C． 2 1 B. 2 D． 4
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n－ 3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率， m＋ 2 设直线 MQ 的方程为 y－ 3＝ k(x＋ 2)， n－ 3 即 kx－ y＋ 2k＋3＝0，则 ＝ k. m＋ 2 由直线 MQ 与圆 C 有交点， |2k－7＋2k＋ 3| ∴ ≤ 2 2. 2 1＋k 可得 2－ 3≤ k≤2＋ 3， n－ 3 ∴ 的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3. m＋ 2
2 2 由题意可得1 ＋（－ 5） ＋ D－ 5E＋ F＝ 0， D－E－ 2＝0
D＋ E－ 10＝0 消去 F 得 ， D－ E－ 2＝ 0 D＝ 6 解得 ，代入求得 F＝－ 12， E＝ 4
所以圆的方程为 x2＋ y2＋6x＋ 4y－ 12＝ 0， 标准方程为 (x＋ 3)2＋ (y＋ 2)2＝ 25.
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3．已知Rt△ABC中，A(0，0)，B(6，0)，求直角顶点C的轨 迹方程．
解：法一：依题意，顶点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆，且 去掉端点 A， B，圆心坐标为 (3，0)，半径为 3， 故直角顶点 C 的轨迹方程为 (x－3)2＋ y2＝ 9(y≠ 0)． 法二：设顶点 C 的坐标为 (x， y)， 由于 AC⊥ BC，故 kAC·kBC＝－1， y y ∴ · ＝－ 1， x x －6 ∴ x2＋ y2－6x＝ 0， 即直角顶点 C 的轨迹方程为 (x－3)2＋ y2＝ 9(y≠ 0)．
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求圆的方程
根据下列条件，求圆的方程：
(1) 以A(1,2)，B(-2,-4)为直径的圆． (2) 过三点A(5,0)、B(－1,0)、C(－3,3).
(3) 过P(0, －6)、Q(1,－5)两点，圆心 在直线x-y+1=0上.
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解：(1)法一：设圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0(D2＋ E2 D E － 4F>0)，则圆心坐标为－ 2 ，－ 2 . 2 （－ 6 ） － 6E＋ F＝ 0
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[解 ](1)由 C： x2＋ y2－4x－ 14y＋ 45＝0， 可得(x－ 2)2＋ (y－ 7)2＝8， ∴圆心 C 的坐标为 (2，7)，半径 r＝2 2. 又 |QC|＝ （ 2＋ 2） 2＋（ 7－ 3） 2＝ 4 2. ∴ |MQ|max＝ 4 2＋2 2＝ 6 2， |MQ|min＝ 4 2－ 2 2＝ 2 2.
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x＋ y＋ 5＝ 0 圆心 C 的坐标是方程组 的解， x－ y＋ 1＝ 0 x＝－ 3 解得 ， y＝－ 2
所以圆心 C 的坐标是 (－ 3，－ 2)． 圆的半径长 r＝ |AC|＝ （ 0＋ 3） 2＋（－6＋ 2） 2＝ 5， 所以，圆心为 C 的圆的标准方程是 (x＋3)2＋ (y＋2)2＝ 25. (2)设过 A、 B、 C 三点的圆的方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝0， 分别代入 A、 B、 C 三点坐标得 25＋5D＋F＝ 0，
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法二：因为 A(0，－ 6)， B(1，－5)， 1 11 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 2，－ 2 ， － 5－（－6） 直线 AB 的斜率 kAB＝ ＝ 1， 1－0 因此线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是 1 11 y＋ ＝－ x－2 ， 2 即 x＋ y＋5＝0.
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与圆有关的轨迹问题 已知圆 x2 ＋ y2 ＝ 4 上一定点 A(2 ， 0) ， B(1 ， 1) 为圆内一 点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
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[解 ](1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为 (2x－ 2， 2y)． 因为 P 点在圆 x2＋ y2＝ 4 上，所以(2x－2)2＋ (2y)2＝ 4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为 (x－1)2＋ y2＝1. (2)设 PQ 的中点为 N(x， y)，在 Rt△PBQ 中， |PN|＝ |BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON(图略 )，则 ON⊥ PQ，所以 |OP|2 ＝ |ON|2＋ |PN|2＝ |ON|2＋ |BN|2， 所以 x2＋ y2＋ (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 4. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2＋ y2－ x－ y－ 1＝ 0.