第四章 圆与方程1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系： 当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D时，表示一个点； 当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当r R d -=时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是（A .a ＜-2或a ＞32 B .-32＜a ＜0 C .-2＜a ＜0D .-2＜a ＜32答案D2.（2009·河南新郑模拟）圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是（A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41，B .⎥⎦⎤⎝⎛410，C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41D .⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,答案A3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是（A .（x -3）2+(y +1)2=4 B .(x +3)2+(y -1)2=4C .（x -1）2+(y -1)2=4D .(x +1)2+(y +1)2=4答案C4.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为（A .(x -2)2+(y +1)2=3 B .(x +2)2+(y -1)2=3C .(x -2)2+(y +1)2=9D .(x +2)2+(y -1)2=9答案C5.（2009·宜昌模拟）直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆（x +a ）2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于（ ）A .第一象限 B .C .第三象限D .答案B例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为（ ）A .x 2+y 2-2x -3=0 B .x 2+y 2+4x =0C .x 2+y 2+2x -3=0D .x 2+y 2-4x =0答案D例2 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x =3-2y ,代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0,5y 2-20y +12+m =0.设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2y 1+y 2=4,y 1y 2=.512m+ ∵OP ⊥OQ ,∴x1x 2+y 1y 2=0.x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.∴x1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2.∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-321，,半径r =25.方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， ∵O1M ⊥PQ ，∴21=MO k .O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4..03242⎩⎨⎧=-++=y x x y解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为（x +1）2+（y -2）2=r 2.∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2. ∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2121(3-2)2+5=44)6(12m --+ ∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21.方法三 设过P 、Qx 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0.OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上.∴m -3λ=0，即m =3λ.x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.∴圆心M⎪⎭⎫⎝⎛-+-2)3(221λλ，，又圆在PQ 上.∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3.⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25.例3 （12分）已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.（1）求y -x（2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时,3202=+-b，解得b =-2±6.5分所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.6分（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.8又圆心到原点的距离为22）00（）02（-+-=2所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.12圆与直线方程例1 已知圆x 2+y 2-6mx -2（m -1）y +10m 2-2m -24=0（m ∈R ）. （1）求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l（2）与l（3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（x -3m ）2+［y -（m -1）］2=25设圆心为（x ，y ），则,13⎩⎨⎧-==m y mx 消去ml ：x -3y -3=0，则圆心恒在直线l ：x -3y -3=0上.（2）解 设与l 平行的直线是l 1：x -3y +b =0l 1的d =10310)1(33b bm m +=+--.∵圆的半径为r =5∴当d ＜r ，即-510-3＜b ＜510-3当d =r ,即b =±510-3当d ＞r ，即b ＜-510-3或b ＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明 对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x -3y +b =0，由于圆心到直线l 1的距离d =103b +（4）弦长=222d r -且r 和d 均为常量.∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2 从点A （-3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切，求光线l 所在直线的方程.解 方法一 如图所示，设l 与x 轴交于点B （b ,0)，则k AB =33+-b ,根据光的反射定律， 反射光线的斜率k 反=33+b .y =33+b (x -b ),3x -(b +3)y -3b=0.∵已知圆x 2+y 2-4x -4y +7=0的圆心为C （2,21,∴2)3(932）3（6++-⨯+-b bb =1,解得b 1=-43,b 2=1.∴k AB =-34或k AB =-43.l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y-3=0.方法二 已知圆C ：x 2+y 2-4x -4y +7=0关于x 轴对称的圆为C 1：(x -2)2+(y +2)2=1，其圆心C 1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切. 设l 的方程为y -3=k (x +3),则22155kk ++=1,12k 2+25k+12=0.∴k 1=-34，k 2=-43.l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y-3=0.方法三 设入射光线方程为y -3=k (x +3),反射光线所在的直线方程为y =-kx +b ,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴,1122332⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=--kb k k b k k 消去b 得2155k k ++=1.12k 2+25k +12=0,∴k 1=-34,k 2=-43.则l 的方程为4x +3y +3=0或3x +4y-3=0.例3 已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0,圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,m 为何值时， （1）圆C1与圆C 2相外切；（2）圆C 1与圆C 2解 对于圆C1与圆C 2C1:(x -m )2+(y +2)2=9; C 2:(x +1)2+(y -m )2=4.(1)如果C1与C 2外切，则有22)2(）1（+++m m =3+2. (m +1)2+(m +2)2=25.m 2+3m -10=0,解得m =-5或m =2.（2）如果C1与C 2内含，则有22)2(）1（+++m m ＜3-2. (m +1)2+(m +2)2＜1,m 2+3m +2＜0,-2＜m ＜-1,∴当m =-5或m =2时，圆C1与圆C 2当-2＜m ＜-1时，圆C1与圆C 2内含.例4（12分）已知点P （0，5）及圆C ：x 2+y 2+4x -12y +24=0. （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程.解 （1）方法一 如图所示，AB =43，D 是AB 的中点，CD ⊥AB ，AD =23，圆x 2+y 2+4x -12y +24=0可化为（x +2）2+（y -6）2=16，圆心C （-2，6），半径r =4，故AC =4在Rt △ACD 中，可得CD =2.2设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y -5=kx ,即kx -y+5=0.由点C 到直线AB 的距离公式：22)1(562-++--k k =2，得k =43. 此时直线l 的方程为3x -4y +20=0.4 又直线l 的斜率不存在时，此时方程为x =0.6则y 2-12y +24=0,∴y 1=6+23,y 2=6-23,∴y 2-y 1=43,故x =0满足题意. ∴所求直线的方程为3x -4y +20=0或x =0.8方法二 设所求直线的斜率为ky -5=kx ,即y =kx+5, 联立直线与圆的方程,024124522⎩⎨⎧=+-+++=y x y x kxy 消去y 得（1+k 2）x 2+(4-2k )x -11=0①2设方程①的两根为x 1,x 2,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+221221111142k x x k k x x ②4由弦长公式得21k +|x 1-x 2|=,34]4))[(1(212212=-++x x x xk 将②式代入，解得k =433x -4y +20=0.又k 不存在时也满足题意，此时直线方程为x=0. ∴所求直线的方程为x =0或3x -4y +20=0.8 （2）设过P 点的圆C 的弦的中点为D （x ,y ）,CD ⊥PD ，即CD ·PD =0，（x +2,y -6）·(x ,y -5)=0,x 2+y 2+2x -11y +30=0.3.求过点P （4，-1）且与圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0切于点M （1，2）的圆的方程.解 方法一 设所求圆的圆心为A （m ,n )，半径为r, 则A ,M ,C 三点共线，且有|MA |=|AP |=r因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0的圆心为C （-1，3则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-+-=--rn m n m m n 2222)1()4()2()1(113212,解得m =3,n =1,r =5,所以所求圆的方程为(x -3)2+(y -1)2=5.方法二 因为圆C ：x 2+y 2+2x -6y +5=0过点M （1，2）的切线方程为2x -y=0, 所以设所求圆Ax 2+y 2+2x -6y +5+λ(2x -y)=0,因为点P （4，-1）在圆上，所以代入圆A解得λ=-4,所以所求圆的方程为x 2+y 2-6x -2y +5=0. 4.（2008·全国Ⅰ文，10）若直线by a x +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则 ( )A .a 2+b 2≤1 B .a 2+b 2≥1 C .2211ba +≤1D .2211ba +≥1答案D5.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的一个值为 （A .2B .5C.3D .35答案C。