m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
m l/ 5
0
1
2
3
4
5
l/5
0
l/5
1y = 1 1 φ1(x) 2
l/5
3
l/5
4
l/5
5
0
2 θ1 = 1 1 φ (x) 2
3
4
5
如图10-9a中，梁分为5个单元，取结点位移参数（挠度y 和转角θ）作为 广义坐标。在图10-9a中取中间四个结点的八个位移参数 y1、θ1，y2、θ2，y3、 θ3，y4、θ4 作广义坐标。
T
sin t
(10 3)
(10 4)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A

0
t

v
sin t
T t
0
A sin t
-A
3、结构的自振周期
由式
A

y (t ) A sin(t ) 及图，可见位移方程是一个周期函数。 2 y T 周 期： T
⑶ 是结构动力特性的重要数量标志。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周期 为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.81 秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒
W 1 1
⑴ 计算水平振动周期
V
A,E,I l
E,I
E,A
1 H EI
3 2 l l l ( ) ( l ) 3 2 3EI
l
WH Wl 3 TH 2 g 3EIg
⑵ 计算竖向振动周期
st
Wl EA
TV 2
st 2 g
Wl EAg
t
工程频率： f

0
1 ( Hz ) T 2
-A
2 圆频率： 2f T
计算频率和周期的几种形式：

k m
1 g m W
g st
T 2
m st 2 k g
频率和周期的讨论：
⑴ 只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； ⑵ Ｔ 与m 的平方根成正比，与k 成反比，据此可改变周期；
m m >> m梁 m +αm梁
I
m +αm柱
I
2I
厂房排架水平振动时 的计算简图 单自由度体系
y2 y1
2个自由度
2个自由度 自由度与质量数不一定相等
m1
m2
2个自由度
m3
4个自由度
v(t)
u(t)
θ(t)
水平振动时的计算体系
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
m ( x)
无限自由度体系
x
y(x,t)
k
（d）式可以写成
y (t ) y cos t
v
由式可知，位移是由初位移 y 引起的余弦运动和由初速度v 引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动, 令

sin t
(10 3)
y A sin ,
(10－3)式改写成
y(t ) Asin(t )
2
v
A cos
角
似设为
dy 应为零。 根据上述位移边界条件，挠度曲线近 dx
y( x) x2 (a1 a2 x
an xn1 )
x
y
这样，就简化为有限自由度体系。
⑶ 有限元法：
有限单元法可以看作为广 义坐标的一种特殊应用。将结 构分成若干个单元。单元的结 点位移作为基本未知量（广义 坐标）。整个结构的位移曲线 则借助于给定的形状函数叠加 而得。
y(t ) FI (t ) my
my y 0
k
1 k
可得与刚度法相同的方程
刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
2、自由振动微分方程的解
my ky 0
改写为
y
k y 0 m
2 y 0 y
(d )
2 其中
通过以上步骤，梁即转化为具有八个自由度的体系。可看出，有限元法 综合了集中质量法和广义坐标法的某些特点。
§10-2 单自由度体系的自由振动
自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t = 0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m 获得初位移y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于：
例10-3、计算图示刚架的频率和周期。 m EI1=
I I h
6 EI h2 6 EI h2
12 EI h3
1
6 EI h2 6 EI h2
k
12 EI h3
由截面平衡条件：
24EI k 3 h
k 24EI m m h3
每个结点位移参数只在相邻两个单元内引起挠度。在图10-9 b 和 c中分别 给出结点位移参数 y1 和θ1 相应的形状函数φ1(x) 和φ2(x)。 梁的挠度可用八个广义坐标及其形状函数表示如下：
y( x) y1 1 ( x) 1 2 ( x)
y4 7 ( x) 4 8 ( x)
（4）自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多(有限）自由度体系； 自由度无限多的体系为无限自由度体系自由度。
⑵ 广义坐标法： 假定结构的位移曲线用一系列已知且满足边界条件的位移函数之和来表 示。如具有分布质量 m 的简支梁是一个具有无限自由度的体系，简支梁的挠 n 度曲线可用三角级数来表示： k x
k m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t ) C1 sin t C2 cos t
积分常数C1，C2 由初始条件确定。
y
m
y(t ) C1 sin t C2 cos t
y (0) y 设 t = 0 时： (0) v y
(d )
C2 y v C 1
t
⑵ 冲击荷载： 短时内急剧增大或急剧减小。（如爆炸荷载） FP FP (t)
FP tr FP
t
tr
t
⑶ 随机荷载： 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。称为非确定性荷载，或称为随
机荷载（如地震荷载、风荷载）。
3、动力计算中体系的自由度 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困 难，常作简化如下： ⑴ 集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自 由度问题。
y ( x, t ) ak (t )sin
k 1
l
用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中 kx 是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。 sin l ak (t) — 称广义坐标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，若式中所 需确定的参数a k 只取有限项，则简支梁被简化为有限 x y(x,t) 自由度体系。 ( 此法可将无限自由度体系简化为有限 自由度体系) 如右图所示烟囱原来也是一个具有无限自由度的 体系，由于底部是固定端，因此 x = 0 处，挠度 y 及转
例10-1、计算图示结构的频率和周期。 m
EI
l 2
1
l 2
1

2 EI
2 l l3 1 l l ( ) ( ) 3 4 48EI 2 4 2
l 4
1 48EI 2 ml 3 , T 2 3 m ml 48EI
H
例10-2、图示结构杆顶有重物，其重量为W，分别求水平和竖向振动的周期。
(10 4)
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A 和 可由下式确定
振幅 相位角
v 2 A y y tg 1 v

(10 5a、b)
y (t ) y cos t
y y

v
y(t ) Asin(t )
⑴ 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。 如图所示的悬臂立柱顶部有一重物，质量为m。设柱本身质量比 m 小得 多，可忽略不计。因此，体系只有一个自由度。 y y 设由于外界干扰，质点 m 离开 m m 静止的平衡位置。干扰消失后，由
弹簧模型
k
质点的水平位移为 y (t)。 my 取质量 m 在振动中位置为 y 时的状态作隔离体，其上作用有惯 y 性力 my ,与加速度 反向；弹性力 (t ) y 与位移 ky (t ) 反向。 动力平衡法（达朗伯原理）：考虑质点上力系的平衡
W=1
8) W=1
9)
W=13
****自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系； 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
确定动力计算自由度时应注意以下几点:
（1）弹性支座不减少动力自由度。
（2）为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。
（3）自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的 2倍。
按变化规律及其作用特点可分为：
⑴ 周期荷载： 荷载随时间作周期性变化。最简单也是最重要的一种称为简谐荷载，荷 载FP (t )随时间t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如转动电机的偏心力。 其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。