在建筑抗震设计中，通常采用最大惯性力作为地震作用。
根据地震引起建筑物主要的振动方向，地震作用分为水平地震作
用和竖向地震作用。
其大小与地面运动加速度、结构的自身特性（自振频率、阻尼、
质量等）有关。 10
结构与土工抗震-李荣建
二、结构地震反应
结构地震反应是指地震时地面振动使建筑结构产生的内力、变形、 位移及结构运动速度、加速度等的统称。可分类称为地震内力反 应、地震位移反应、地震加速度反应等。 结构地震反应是一种动力反应，其大小与地面运动加速度、结构 自身特性等有关，一般根据结构动力学理论进行求解。 结构地震反应又称地震作用效应。
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结构与土工抗震-李荣建
三、计算简图及结构自由度
2.计算简图
进行结构地震反应分析时，首先要确定结构动力计算简图。
结构的惯性力是结构动力计算的关键。
结构惯性与结构质量有关。
计算简图中的结构质量的模拟有两种，一种是连续化分布，另
一种是集中分布。
工程上常用集中分布质量的模型进行动力计算，该方法计算简
便，精度可靠。 17
5
结构与土工抗震-李荣建
一、结构动力学问题
动力问题
高速水流引起的结构脉动响应 例
冲击荷载引起的振动问题
如爆破、爆炸、滑坡……
强烈地震下建筑物的动力响应 例
确定地面运动——工程地震学 结构地震反应——结构动力学
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1
一、结构动力学问题
1、结构分析的三大要素
荷载 （激励、输入）
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结构
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三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度 • 集中质量法 独立坐标的数目，举例
自由度是一种人为假设 举例：水塔
单自由度系统振动理论是一 切复杂结构体系动力分析 的基础
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2
三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度 • 集中质量法 独立坐标的数目，举例
质点的动力平衡条件为
FI + FD + FS = 0
将定义式代入上式，得单质点系的动力方程为
m(δg + δ ) + cδ + kδ = 0
δ+ 2λωδ + ω2δ = −δg
式中，ω =
阻尼比。 27
k ，称为体系的自振频率； λ = c 称为
m
2mω
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二、地震运动方程及解答
3、有阻尼自由振动 方程的根： s = −ξω ± ω ξ 2 −1
1. 临界阻尼体系 ξ = 1
运动反应：δ (t) = [u0 (1+ ωt) + u0t]e−ωt
定义： ccr = 2mω
临界阻尼系数
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3、有阻尼自由振动
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3、有阻尼自由振动
2. 超阻尼体系
自由度是一种人为假设 举例：电视塔
三、计算简图及结构自由度
1. 结构自由度
• 集中质量法 • 独立坐标的数目，举例
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三、计算简图及结构自由度
z 广义坐标法
广义坐标的独立变分数目，举例
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三、计算简图及结构自由度
1.结构自由度
计算简图中各质点可运动的独立参数称为体系的自由度。 空间中一个自由质点可有三个独立的平动位移（忽略转 动），因此它具有三个平动自由度。若限制质点在平面内 运动，则一个质点有两个自由度。 根据结构自由度数量，可分单自由度体系和多自由度体系。 结构体系中的质点数和自由度数可以相同，也可以不同。
初始条件： u0 = 0 38
δu(t) = PΔt sinωtt m结mω构与土工抗震-李荣建
t = τ 脉冲 p(t)
Δτ 期间系统的反应： Δδ (t) = p(τ )Δτ sin(t −τ )
mω (t > τ )
t时刻系统的总反应：
δ
(t)
=
1 mω
t
∫0
p(τ
)sin ω(t
−τ
)dτ
—无阻尼单自由度系统Duhamel积分
远场 地面摆动为主
3
渐进性破坏
震害关联分析
宏观震害是多种因素综合作用 的结果!
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第2章 结构动力学基础
2.1 地震分析模型概述
2.2 单自由度结构的地震反应
2.3 多自由度结构的地震反应
2.4 多自由度结构地震反应方程的计算与解答
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结构与土工抗震-李荣建
2.1 地震分析模型概述
• 结构动力学问题 • 地震作用 • 结构地震反应 • 计算简图及结构自由度
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结构与土工抗震-李荣建
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无阻尼自由振动解：
δ
(t)
=
u0 ω
sin
ωt
+
u0
cos ωt
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2、几个定义
• 圆频率（角速度）ω = k m
• 频率 f = ω / 2π • 周期 T = 1/ f = 2π / ω • 阻尼比 ξ = c / 2mω
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δ i +1
=
δi
+
Δtδi
+
(1 2
−
β
)Δt 2δi
+
βΔt 2δi+1
δi+1
=
1 βΔt 2
a = (1− 2β )δi + 2βδi+1, 0 ≤ β ≤ 1/ 2
δ i +1
=
δi
+
Δtδi
+
1 2
Δt 2a
δ i+1
=
δi
+
Δ tδi
+
(1 2
−
β
)Δ t 2δi
+
β Δ t 2δi+1
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Newmark —β法
δi+1 = δi + (1− γ )Δtδi + γΔtδi+1
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一、结构动力学问题
3、动荷载的种类 随机的：如地震 确定的： 周期性的： 简谐的，一般周期荷载 非周期性的： 冲击
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二、地震作用
地震时由于地面运动使原来处于静止的建筑产生强迫振动。
将地震时由地面运动加速度振动在结构上产生的惯性力称为结构
ห้องสมุดไป่ตู้
的地震作用（earthquake action）。
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4
一、单自由度地震运动方程
弹性力 FS 其大小与位移 δ成正比，其方向与位移方
向相反，可以表示为 FS = kδ
阻尼力 FD 其方向与速度相反，大小与速度成正比，
FD = cδ
式中 c ──阻尼系数； δ ──质点对地面
的相对速度
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一、单自由度地震运动方程
自由振动：无外界激励、无支座运动 有初始位移/速度！！！
齐次方程： mδ+ cδ + kδ = 0
假定解的形式： δ (t) = Gest
ms 2 + cs + k = 0
令 ω = k m ξ = c / 2mω
方程的解为： s = − c ± c2 − 4mk = −ξω ± ω ξ 2 −1
结构与土工抗震
李荣建 主讲
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课程理解-认识
地震地质勘察
地基基础抗震
土 工 抗 地震及震害 结构动力学 震
场地效应
土动力特性
边坡坝坡抗震
地下结构抗震
地震反应谱
结构抗震设计分析
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地表断裂为主
¾震害关联分析
双共振
近场
共振
共振
震源
波群
场地
建筑物
一次性破坏 选择性破坏
量等于该楼层上、下各半的区域质量 （楼盖、墙体等）之和；对单层单跨 或多跨工业厂房，屋盖结构是主要质
量，可集中于各跨屋盖标高处。
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三、计算简图及结构自由度
2.计算简图
当结构无明显主要质量 时（如烟囱）,可将结 构分成若干区域，而将 各区域的质量集中于质 心处。
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惯性力 FI 是一种假想作用于质点上的力，其大小等
于质量乘绝对加速度，方向与加速度方向
相反，
FI = mδa = m(δg + δ )
式中δa──质点的绝对加速度；
δ ──质点对地面的相对加速度。
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一、单自由度地震运动方程
FS = kδ FD = cδ FI = mδa = m(δg + δ )
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动量原理：
——系统受脉冲作用的反应
脉冲冲量： I == pp(t))ΔΔtt == PPΔΔtt 系统动量： mδu((00)) == I == PΔΔtt
u((00)
==
PPΔΔtt mm
初始速度
系统反应
以初始速度引发的自由振动 uδ((tt))==uωuω000ssininωωt t++u0u0 c0ocsoωstωt