第五讲、数据分析
一、数据的代表
（一）、（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,,x n,那么，x= 1（x +x + +x）叫做这n个数的平均数，x读n 1 2 n 作“x拔”。
注：如果有n个数x1, x2,, x n的平均数为x，则①ax1, ax2,,ax n的平均数为a x；②x1+b,x2+b,,x n+b的平均数为x+b；③ax1+b,ax2+b,, ax n +b的平均数为a x +b。
（2）加权平均数：如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，…，x k出现f k次（这里f1+ f2+f k =n），
那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为x = x1f1+x2f2+xk fk，这样求得的平均数x叫做加权平均
n
数，其中f1, f2,, f k叫做权。
（ 3 ）平均数的计算方法
①定义法:当所给数据x1, x2 ,, x n,比较分散时，一般选用定义公式：x = 1（x +x + +x）
1 2 n
n 1 2 n
②加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x= x1f1+x2f2+xk fk，其中n f1+ f2+f k =n。
③新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x'+a。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1= x1 a，x'2=x2 a，…，x'n=x n a。
x'=1（x' +x' + +x' ）是新数n 1 2 n 据的平均数（通常把
x1,x2,,x n,叫做原数据，x'1,x'2,, x'n ,叫做新数据）。
（4）算术平均数与加权平均数的区别与联系①联系：都是平均数，算术平均数是加权平均数的一种特殊形式（它特殊在各项的权相等，均为 1 ）。
②区别：算术平均数就是简单的把所有数加起来然后除以个数。
而加权平均数是指各个数所占的比重不同，按照相应的比例把所有数乘以权值再相加,最后除以总权值。
（二）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
（注：不是唯一的，可存在多个）
（三）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（注：①在找中位数的时候一定要把数据按大小依次排列；②如果n是奇数，则中位数是第n+1个；若n是偶数，则中位2
数处于第n和第n +1个的平均数；③中位数一般都是唯一的）
22
二、数据的波动
（一）极差：
（1）概念：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。
（2）意义：能够反映数据的变化范围，是最简单的一种度量数据波动情况的量，极差越大，波动越大。
（二）方差：
（1）概念：在一组数据x1,x2,,x n,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。
通常用
“ s2”表示，即s2= 1[（x1x）2+（x2x）2+ +（x n x）2]
1 2 n （2）意义：衡量数据波动大小的量，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，
n
数据的波动越稳定。
注：如果有n个数x1, x2,,x n的方差为s2，则①ax1,ax2,,ax n的方差为a2s2；②x1+b,x2+b,,x n+b的方差为s2；③ax1+b, ax2
+b,,ax n +b的方差为a2s2。
（三）方差的计算
(1)基本公式：s2= 1[(x1x)2+(x2x)2+ +(x n x)2]
1 2 n (2)简化计算公式(Ⅰ)：2 1 2 2 2 2也可写成s2=1[(x2+x2+ +x2)] x2此公式的记忆方法是：方差
n
等于原数据n1 2 n n 平方的平均数减去平均数的平方。
12
(3)简化计算公式(Ⅱ): s2= 1[(x'12+x'22+ +x'2n ) nx'2] n 1 2 n
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x'1= x1a，x'2=x2a，…，x'n=x n a，那么，s2= 1[(x'2+x'2+ +x'2)] x' 此公式的记忆n 1 2 n 方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。
(4)新数据法：原数据x1, x2 ,,x n,的方差与新数据x'1=x1 a，x'2=x2 a，…，x'n=x n a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,, x'n ,的方差就等于原数据的方差。
(四)方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“ s ”表示，即
s= s2= 1[(x1x)2+(x2x)2+ +(x n x)2]
n
三、统计学中的几个基本概念
1 、总体 : 所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体:总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本:从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量:样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、总体平均数:总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。