２0１2年考研数学三真题
一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。

下列每题给出的四
个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。

）
(1)曲线y=x 2+x
x2−1
渐近线的条数为
(Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。

【解析】
由lim
x→+∞y=lim
x→+∞
x2+x
x2−1
=1=lim
x→−∞
y=lim
x→−∞
x2+x
x2−1
，
得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由lim
x→1y=lim
x→1
x2+x
x−1
=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；
由lim
x→−1y=lim
x→−1
x2+x
x−1
=1
2
得x=−1不是曲线的渐近线;
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2)设函数f(x)=(e x−1)(e2x−2)⋯(e nx−n)，其中n为正整数，
则f′(0)=
（A）(−1)n−1(n−1)! (B)(−1)n(n−1)!
（C)(−1)n−1(n)! (D）(−1)n(n)!
【答案】A
【解析】
【方法1】
令g (x )=(e 2x −2)⋯(e nx −n)，则
f (x )=(e x −1)
g (x )
f ′(x)=e x
g (x )+(e x −1)g′(x )
f ′(0)=
g (0)=(−1)(−2)⋯(−(n −1))
=(−1)n−1(n −1)!
故应选Ａ．
【方法2】
由于f (0)=0,由导数定义知
f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0
(e x −1)(e 2x −2)⋯(e nx −n)x =lim x→0(e x −1)x ∙lim x→0(e 2x −2)⋯(e nx −n)
=(−1)(−2)⋯(−(n −1))=(−1)n−1(n −1)!.
【方法3】
排除法，令n =2,则
f (x )=(e x −1)(e 2x −2)
f ′(x )=e x (e 2x −2)+2e 2x (e x −1)
f ′(0)=1−2=−1
则（B)(C)（D)均不正确
综上所述，本题正确答案是(A ）
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ
= (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2
(Ｂ) ∫dx 20
∫f(x 2+y 2)dy √4−x 2√2x−x 2。