收稿日期：2006-02-26
修回日期：2006-10-07
基金项目：国家自然科学基(60473094); 国家自然科学基者简介：刘关俊(1978-), 男, 山东菏泽人, 硕士, 研究方向为 Petri 网
理论及应用、并行处理等; 蒋昌俊(1962-), 男, 博士, 教授, 博导, 研究
Abstract: Petri net language is an important component of Petri net theory and can reflect simulating power of Petri net. It is also one of important methods for analyzing system behavior and applied in many fields. The relations of 12 classes of Petri net languages have been studied roughly. Based on the relations of these classes, more detailed relations were described that some classes contain others properly and some ones are intersecting but not contained mutually. So these containment relations can reflect different simulating powers of them more accurately. Some characters of these classes are shown in the proof processes. Key words: petri net; language; type; class
引 言1
Petri 网是一种系统描述和分析的工具，尤其便于描述并 发现象和模拟并行系统，在许多领域都得到了应用。Petri 网最早在文献[1]中提出，但对其语言的研究是从文献[2-3] 开始的。最初提出并研究 Petri 网语言，主要目的是出于把 Petri 网看作一种类似于自动机的机器，通过它们产生的语言 来界定它们的计算、模拟能力，再者，就是通过这种序列来 分析系统的行为，后来，在 Petri 网语言的理论与应用方面 都得到了一定的发展。
第 19 卷第 7 期 2007 年 4 月
系 统 仿 真 学 报© Journal of System Simulation
Vol. 19 No. 7 Apr., 2007
各类 Petri 网语言间的关系
刘关俊 1，蒋昌俊 1,2，陈黎静 1
(1.山东科技大学信息科学与工程学院, 青岛 266510; 2.同济大学计算机系, 上海 201804)
Relations of All Classes of Petri Net Languages
LIU Guan-jun1, JIANG Chang-jun1,2, CHEN Li-jing1
(1.College of Information, SDUST, Qingdao 266510, China; 2.Department of Computer, Tongji University, Shanghai 201804, China)
⎧M (s) +1 s ∈ t• − •t
M
′(s)
=
⎪ ⎨M
(s)
−
1
s ∈ •t − t• ；
⎪⎩M (s) otherwise
(4) ∑ 为字母表；
(5) h : T → ∑ 为标注函数；
(6) F ⊆ R(M0 ) 为终止标识集，其中， R(M0 ) 为从 M0 可达的所有标识的集合。
一个标注 Petri 网，其实就是为这个 Petri 网中的每个变 迁贴上一个标签( ∑ 中的元素)，通过这些标签来反映每个变 迁的物理意义。
含关系：有的语言类之间是真包含，有的语言类之间是相交但互不包含，因此，能够较详细地刻画
出这 12 类语言间不同的模拟能力；同时，从证明中也可以了解到一些语言类自身的特点。
关键词：Petri 网；语言；属型；类
中图分类号：TP301
文献标识码：A
文章编号：1004-731X (2007) 07-1633-06
关系符号有：包含关系符“ ⊇ ”，真包含关系符“ ⊃ ”，不
包含关系符“ ⊇ ”。
定义 1 称 PN = (P,T ; G, M 0 , Σ, h, F ) 为一个标注 Petri 网，当且仅当
(1) P、T 分别为库所集与变迁集，且 P ∪ T ≠ Φ ，
P∩T = Φ；
(2) G ⊆ (P × T ) ∪ (T × P) 为流关系； (3) M : P → {0,1, 2 ⋅ ⋅⋅}为标识函数，M0 为初始标识，且 变迁引发规则为：
定义 2 已知 Petri 网 PN = (P,T ; G, M 0 , Σ, h, F ) ，如果存 在标识 M1, M 2 , ⋅ ⋅ ⋅, M k 使得 ∀1 ≤ i ≤ k , ∃ti ∈ T : M i−1[ti > M i ，
则称变迁序列 σ = t1 D t2 D ⋅ ⋅ ⋅ D tk (有时将“ D ”省略，直接写 成 σ = t1t2 ⋅ ⋅ ⋅ tk )在 M0 下是使能的，记作 M 0[σ > ，称 Mk 是 从 M0 可达的，记作 M 0[σ > M k 。
方向为 Petri 网理论及应用、并发理论与并行处理、网格技术等; 陈黎静
(1979-), 女, 硕士, 助教, 研究方向为 Petri 网理论及应用。
是正规语言或上下文无关语言的充分必要条件；我们在文献 [7]给出了 Petri 网语言(L 型)的一种 Pumping 引理，此引理反 映了 Petri 网语言的一般共性，能够利用此引理来证明某些 语言不是 Petri 网语言；文献[8]首次提出了矢量文法，研究 了各类 PN 机(包括 PN 机、混杂 PN 机和广义混杂 PN 机)、 矢量文法(包括正规矢量文法、上下文无关矢量文法和上下 文有关矢量文法)及 Petri 网语言(L 型)间的关系；文献[9]研 究了 Petri 网语言(P 型)的识别问题；文献[10]从 Petri 网语言 (P 型)方面刻画了 Petri 网的活性、弱活性，给出了相应的判 定定理；文献[11]揭示了：如果两个有界持续网(Bounded and Persistent Petri Net)产生的语言(P 型)相同，则它们的可达状 态图同构，反之亦然；文献[12]在定义网的大小(size)的前提 下，研究了网的极小化过程(minimization procedure)，一个 网的极小化就是要保证极小化前后的网产生的语言(L 型、P 型)相同；文献[13]定义了 Petri 网的 ω 语言，即此语言中的 每个字都是无限长的，考查了三类 Petri 网—带有非阻塞弧 的 Petri 网(Petri Net with Non-blocking Arc)、带有转移弧的 Petri 网(Petri Net with Transfer Arc)、Petri 网—产生的 ω 语言 间的包含关系，界定了它们之间模拟能力的强弱；文献[14-15] 研究了 Petri 网语言(G 型)在监控理论(Supervisory Control Theory)方面的应用，并研究了语言的封闭性；文献[16]基于 Petri 网 语 言 (P 型 ) ， 研 究 了 离 散 事 件 系 统 的 诊 断 (diagnosability)问题；文献[17]从 Petri 网语言(P 型)方面，研 究了 Petri 网的行为不变性，很好的应用在程序正确性验证 等方面；另外，还有一些学者研究了 Petri 网的并发语言等。
摘 要：Petri 网语言是 Petri 网理论的重要组成部分，反映了 Petri 网的模拟能力；同时，Petri 网语言
也是分析系统行为的重要手段之一，在许多方面得到了应用。对已有的 12 类 Petri 网语言，已经给出
了它们之间一个粗略的包含关系。在已有关系的基础上，给出了这 12 种语言类之间一个更详细的包
以下章节的安排是：在第 1 节简单介绍了一些基本概念 及十二类 Petri 网语言间已知的包含关系；主要内容在第 2 节，详细地考查了这十二类语言间的关系；在第 3 节中，简 单总结全文并介绍了待解决的问题。
1 一些基本概念
在本节中给出有关 Petri 网语言的一些概念，关于 Petri
网的其他一些概念，请参看文献[3,8,17]，另外，本文用到的
定义 3 设 PN = (P, T ; G, M0 , Σ, h, F ) 为一个标注 Petri 网，令 L = {α ∈ Σ* | ∃σ ∈T* ∧ M0[σ > M ∧ M ∈ F ∧ h(σ) = α}，
L′ ={α ∈Σ* | ∃σ ∈T* ∧ M0[σ > M ∧ M ≥ M′ ∧ M′∈ F ∧ h(σ) = α},
(1) 若 F ∈ R(M0 ) 是给定的一个有限子集，则称语言 L 为 PN 产生的 L 型语言， L′ 为 G 型语言；
(2) 若 F = {M ∈ R(M0 ) | ∀t ∈ T : ¬M [t >} ，则称语言 L 为 PN 产生的 T 型语言；
(3) 若 F = R(M 0 ) ，则称 L 为 PN 产生的 P 型语言。 上述定义中，“语言 L ”与“ L 型语言”中的两个 L 不 同。有的文献将 G 型语言称为弱语言(weak language)，将 P 型语言称为前缀语言(prefix language)。文献[3]中，又根据标 注函数的不同情况，将每一型 Petri 网语言分为无标注(网中 每个变迁的标注都不一样)、无 λ 标注(网中每个变迁都不能 标注为空，但标注可以相同，其中 λ 为空标注)、带 λ 标注(网 中的变迁可标注为空，也可以相同)等 3 种语言类，分别记 为： X f 、X、 X λ ，其中， X ∈ {L, T , G, P} ，从而 Petri 网语言被分为了 4 型 12 类。 文献[3]中已给出 4 型 12 类 Petri 网语言间的一个关系， 如图 1 所示，其中， X → Y 意思为 X ⊇ Y ，即，某个语 言是 Y 类的，则其必为 X 类的， X 、 Y 均代指 12 类中的 某一类，也就是说，某个 Petri 网产生的 Y 类语言为 L ，则 必存在一个 Petri 网，产生的 X 类语言也为 L 。从图 1 可以 看出，带空标注的 L 型(即 Lλ 类)与带空标注的 T 型(即 T λ 类)等同，其他类都是它们的子类，然而，它们之间是真包 含，还是等同，还是互不包含，是文献[3]提出的问题，也是 本文所做的主要工作。