( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
x x2 at
x at C
特征线
影响区域
x1
x2
行波法又叫特征线法
x
x at
x at
特征变换
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数理方程 一维波动方程 的两族特征线
utt a uxx
2
x at 常数
2
恰好是常微分方程
dx
a dt 0
2 2
的积分曲线, 这个常微分方程称为一维波动方程的特征方程 . 推广到一般的二阶齐次线性偏微分方程：
数理方程 利用复合函数求导法则得
x at
x at u u u u u x x x 2 u u u u u ( ) ( ) 2 x x x
u | y0 3x
解: 特征方程
2
u y | y 0 0
2
dy
2
2dxdy 3dx 0
两族积分曲线为
(dy 3dx) dy dx 0 3x y C1 x y C2
3x y x y
做特征变换
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数理方程 弦的横振动、均匀杆的纵振动和理想传输线具有相同的 泛定方程 :
utt a 2u xx
( x , t 0)
u | t 0 x
考虑代换
u t | t 0 x
x at
x at
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2u 2u 2u 9 2 6 2
2u u u u u (3 ) (3 ) xy y y
2u 2u 2u 3 2 2 2
( x)
u0
x1 x2 2
t 0
t1 t2 t3 t4 t5 x1
2u0 ( x) 2u0 0
x x1 x2 x1 x x1 x2 x1
x1 x2 2
x1 x
x1 x2 x x2 2 x x1或x x2
u
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
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数理方程
例2、初速为零 ( x) 0，而初始位移 ( x) 只在区间 ( x1 , x 2 )上不为零，于 x ( x1 x2 ) / 2 处达到最大值 ，如图所示，求出该问题的解。 解：根据图形，初始位移为
解：将初始条件代入达朗贝尔公式
u( x, t ) [e
1 2
( x at )2
e
( x at )2
]
1 2a

1 [e 2
( x at ) 2
2
e
( x at ) 2
]
1 2

x at

x at
x at
2ase
s2
ds

( x at ) 1 [ e 2
x1
x2
x
x2
x x x x x x
根据初始条件，利用达朗贝尔公式直接求出
1 1 u( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 2
该初始位移分为两半，分别向左右两方以速度a
移动，而这两个行波的和就给出如图所示的各个
时刻的波形。
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数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数理方程
数学物理方程
Equations of Mathematical Physics 主讲：周澜
南京邮电大学 、 理学院、应用物理系
:
zhoul@
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数理方程

行波法主要用来求解无界区域内波动方程的定解问题
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确 定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分 的齐次二阶偏微分方程。
( x )
就可得到波动方程的解
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1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a 1 u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) a. 只有初始位移时， 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
2u 2u 2u 2 2 2
代入方程化简得:
u 0
2
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数理方程
2u 0 的通解为: u f1 ( ) f2 ( ) f1 (3x y) f 2 ( x y)
代入初始条件得：
1 1 x C f1 ( x) ( x) ( )d 0 2 2a 2 f ( x) 1 ( x) 1 x ( )d C 2 2 2a 0 2
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数理方程
1 1 x at C f1 ( x at ) ( x at ) ( )d 0 2 2a 2 f ( x at ) 1 ( x at ) 1 x at ( )d C 2 2 2a 0 2
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
( x )
u ( x, t ) f1 x at f 2 x at
把初始条件代入泛定方程的通解，得到:
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) 1 x af1( x) af 2( x) ( x) f1 ( x) f 2 ( x) 0 ( )d C a
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a的波的叠加，故称为行波法。 南京邮电大学、数理学院
数理方程
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d 2 2a x at
例：达朗贝尔公式的应用
2 utt a u xx 0, x x2 x2 u |t 0 e , ut |t 0 2axe
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数理方程
u u u u u y y y
3x y x y
2u u u u u ( ) ( ) 2 y y y
u | y0 3x 2 u y | y 0 0
f1 (3x) f2 ( x) 3x2
f '1 (3x) f '2 ( x) 0 可解得： 1 f 3 x f x C 1 2 3 9 2 3 2 f1 3x x C ' f2 x x C ' 4 4
2u 2u 2u 2 2 2
同理：
u u u 2 u a ( 2 2 2 ) 2 t
2 2 2 2
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数理方程 代换后：
utt a uxx
2
2u 0
u f ( )
两个方向传播出去，波速为
a ，也即 :
沿
f1 ( x at)
f 2 ( x at )
以速度 以速度
a
x
负方向移动的行波
a 沿 x 正方向移动的行波
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数理方程
若研究的弦、杆、传输线为无限长（相对波长而言）的，那么就不存在边界 条件，只有初始条件。设初始条件为：
(2) 函数 f1 和 f 2 的确定
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数理方程 代入通解可得：
1 3 2 2 u x, y 3x y x y 3x 2 y 2 4 4
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数理方程 例2 求方程 的一般解. 解 特征方程为
uxx 2sin x uxy cos xuyy cos xuy 0
1 1 x at u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d x at 2 2a
——无限长弦振动的达朗贝尔公式
u t 0 ( x) 只要知道初始条件： ut t 0 ( x)
数理方程
u u u u u 3 x x x
3x y x y
2u u u u u (3 ) (3 ) 2 x x x
u2
f2 ( x)
u2 x
a 2
a
a
t=0
x
3a 2 t=1/2
随着时间t 的推移u2 的图形以 速度a 向x 轴正向移 动.
u2
u2
t=1
2a
x
t=2
a
3a
x