2
2
1 FF(x)
2
（ 3） 位移定理 函若F(ω)= F[f(x)] ，则有
F f (x x0 ) eix0 F f (x) F1 F ( 0 ) emix0 f ( x)
证明： 由傅里叶变换积分式
u x x0
F f (x x0) f (x x0)eixdx
x u mx0 dx du
二、傅里叶变换
定义 13.1.1 傅里叶变换 若函数f(x)满足傅里叶 积分定理条件，称表达式
F() f (x)eixdx
为函数f(x)的傅里叶变换式，记为F[f(x)]；称函数 F(ω)为f(x)的傅里叶变换，简称傅氏变换(或像函 数)。
定义 13.1.2 傅里叶逆变换 记表达式
f (x)
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
卷积运算符合如下交换律和加法分配率：
= 1
2
F
(
)
F
(
)
1
2
ei
(
)
xdx
dd
= 1
F()F() ( )dd
2
= 1
2
F
(
)
F
(
)
(
)d
d
= 1 F()F()d = 1 F() 2 d
2
2
注：常用函数的傅里叶变换已制成了表
13.2 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换的定义
傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数 f(x)在任一有限区间上满足狄利克雷条件，并且在 区间(-∞,∞)上绝对可积。这是一个相当强的条件 ，以至于许多常见的函数(例如多项式、三角函数 等)都不满足这一条件。因此，我们引入一种新的 变换——拉普拉斯变换，这种变换存在的条件比 傅里叶变换存在的条件要宽。
l
l l ll
l
其跃变间隔为：
n
l
对于非周期函数，不具备以上特点，但若将其 看成周期趋于无穷大(2l→∞)的周期函数，则可以 仿照周期函数的做法写出它的傅氏展开式，只是此 时∆ωn=π/l→0，不再跃变，而是连续变化，记为ω ，这样非周期函数f(x)可以表示为：
f
(x)
lim
l
n
1 2l
l l
f
(
)e
in
d
ein
x
1 n l
1
lim
n 0
n
2
f
(
)ein
d
ein
x
n
即
f
(x)
1
2
f
( )eid eixd
称为函数f(x)的傅里叶积分(傅氏积分)。
注：由于交换了极限过程及求和过程的顺序，上式 的推导不严格。实际上，关于傅氏积分成立的条件 ，有如下傅里叶积分定理：
f1( x) * f2 ( x) f2( x) * f1(x)
f1(x) * f2(x) f3(x) f1(x) * f2(x) f1(x) * f3(x)
（5） 卷积定理 设F[f1(x)]= F1(ω)， F[f2(x)]= F2(ω)，则有
F f1(x) * f2(x) F1() F2()
f1( )ei F2 ()d
F2 ()
f1( )ei d
F1()F2()
（6） 频谱卷积定理
F
f1(x)
f2(x)
1
2
F
f1(x)* F
f2(x)
证明：
1
2
F1() * F2()
F f1(x) f2(x)
f1( x) f2 ( x) eixdx
f1( x)
1
2
F2
证明略
（ 2） 对称定理 若F(ω)= F[f(x)] ，则有
FF(x) 2 f ()
证明： 因为F(ω)= F[f(x)] ，固其傅里叶逆变
换为
f (x) F1 F ()
1
F ()eixd
1
F ( p)eipxdp
2
2
令x=-ω可得：
f ()
1
F ( p)eipdp
1
F ( x)eixdx
1
2
F2
()
f1
(
x)eixdx
d
1
2
F2
(
)
f1(
x)ei
x
dx
d
1
2
F1()F2 ()d
同理可证另 一个等式
（8） 微分定理 若当x→±∞时，f(x) →0且满足 F[f(x)]= F(ω)， 则有
证明：
F f (x)=iF()
F f (x) f (x)eixdx
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
1
2
F1() F2()d
1
2
F1() F2()d
其中f1(x)和f2(x)为x的实函数， F1(), F2() 为相 应函数的复共轭。
证明：
f1( x) f2 ( x)dx
f1 ( x)
1
2
F2
()ei
xd
dx
1
2
F2
(
)
f1
(
x)eixdx
d
交换积分 次序
l l
f
( )eind
即，函数f(x)可表示为：
f
(x)
1 2l
l
n l
f
(
)ein
d
ein
x
由上式看到，以2l为周期的函数，在自变量增长的 过程中，函数值有规律的重复，自变量每增长一个
周期2l ，函数就重复变化一次；其中参数ωn不连 续地、跳跃地取下列数值：
L , n ,L , 2 , ,0, , 2 ,L , n ,L
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
（10） 帕萨瓦定理 若F[f(x)]= F(ω)， 则有
f (x) 2 dx= F () 2 d
证明：
f (x) 2 dx= f (x) f (x)dx=1 Nhomakorabea2
F
()eixd
1
2
F
(
)ei
xd
dx
=
1
2
F
(
)ei
xd
1
2
F
(
)e
i
xd
dx
先对x积分
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
在这种变换之下，方程变得简单了，例如原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数直至变成常微分方 程，原来的常微分方程可以变成代数方程，从而使 在函数类B中的运算简化，找出在B中的一个解；再 经过逆变换，便得到原来要在函数类A中所求的解 ，有时甚至还能得到有限形式的解，而这往往是用 分离变量法或幂级数解法不能得到的。
(
)ei
xd
e
i x
dx
交换积分次序
1
2
F2
(
)
f1(
x)ei
(
)
x
dx
d
1
2
F2()F1( )d
1
2
F
f1 ( x) *
F
f2(x)
1
2
F1() * F2()
（7） 乘积定理 设F[f1(x)]= F1(ω)， F[f2(x)]= F2(ω)，则有
f1(x)
f 2 ( x)dx=
δ( x)
lim
N
fN
(x)
lim
N
fN
(x)
0
lim
N
fN ( x)dx 1
x0 x0
例如：
fN (x) N rect Nx
fN (x) N eN2 x2
δ 函数的性质： (1) 筛选特性
f (x)δ(x x0 )dx f (x0 )
(2) 乘法性质 f (x)δ(x x0 ) f (x0 )δ(x x0 )
f (u)ei(umx0 )du eix0 f (u)eiudu
eix0 F f ( x)
另一个同学
们自己证明
对位移定理的第一式两边同时作傅里叶逆变换即 对第二式两边同时作傅里叶变换，便可得相移定 理：