∆k f 0 [ k!
∏ (t − j )]
j =0
k −1
其余项 化为
f ( n +1) (ξ ) ω n +1 ( x) Rn (x ) = (n + 1)! f ( n + 1 ) (ξ ) n + 1 h ∏ (t − j ) Rn ( x0 + th ) = ( n + 1)! j =0
n
∇k fk = k!⋅hk
7
Ｎewton向前(差分)插值公式
如果节点 x0 , x1 ,⋯ , xn是等距节点,即 b−a xk = x0 + kh , k = 0 ,1,⋯ , n , h = n
Newton插值公式为
N n (x ) = f 0 + ∑ f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ]ω k ( x )
(k ) 1
xk ≤ x ≤ xk + 1
k = 0 ,1,⋯ , n − 1
f ′′(ξ ) ω 2 ( x ) ≈ f [ xk , xk + 1 , xk + 2 ]ω 2 ( x ) R ( x) = 2!
( (2) N 2k ) ( x) = f k + f [ xk , xk + 1 ]( x − xk ) + f [ xk , xk + 1 , xk + 2 ]( x − xk )( x − xk + 1 )
k −1
插值余项为
f (ξ ) n + 1 h ∏ (t + j ) Rn ( xn + th ) = ( n + 1)! j =0
( n + 1)
11
五、Newton插值公式的使用 由于高次插值多项式的Runge现象,Newton插值公式 一般也采用分段低次插值 (1) N1( k ) ( x) = f k + f [ xk , xk + 1 ]( x − xk ) 分段线性Newton插值
(k ) 2
15
∇2 fk (7) N 2( k ) ( xk + th) = f k + ∇f k ⋅ t + ⋅ t ( t + 1) 2 f ( 3 ) (ξ ) 3 h t (t + 1)(t + 2 ) R2( k ) ( x0 + th) = 3! ∇3 fk 分段二次Newton t (t + 1)(t + 2 ) ≈ 3! 向后(差分)插值
k =1 n
如果假设
x = x0 + th
∆k f 0 f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ] = k !⋅h k
8
由差商与向前差分的关系
ω k (x ) = ∏ ( x − x j ) = ∏ ( x0 + th − x0 − jh ) = ∏ (t − j )h
j =0
j =0 j =0
k −1
−1<t <0
k = n, n − 1
依此类推,请同学们写出分段三次 向前和向后Newton公式及余项 在实际应用中,究竟使用几次插值多项式呢? 如果m + 1阶差
商(差分)很接近(在误差范围内), 则使用m次插值多项式
16
Newton插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时, 计算只要增加一项,这是Lagrange插值无法比的.
∇f4
5
在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
fi + 1 − fi ∆f i ∇fi +1 = f [ xi , xi + 1 ] = = h xi + 1 − xi h f [ xi , xi + 1 ] − f [ xi + 1 , xi + 2 ] ∆f i − ∆f i +1 ∆2 f i f [ xi , xi + 1 , xi + 2 ] = = = 2 xi − xi + 2 − 2h 2h 2
第二章 插值法
§ 2.4 差分与等距节点插值法
1
差分
2
定义
设f ( x )在等距节点 xk = x0 + kh 处的函数值为f k , k = 0 ,1 , ⋯ , n , 称
∆f k = f k + 1 − f k ∇f k = f k − f k − 1
k = 0 ,1,⋯ , n − 1
k = 1 ,2 ,⋯ , n
10
2.Newton向后(差分)插值公式 如果假设
x = xn + th
(t < 0 )
根据向前差分和向后差分的关系
∆m f k = ∇ m f k + m
可得Newton向后插值公式
N n ( xn + th ) = f n + ∑
k =1 n
∇k fn [ k!
∏ (t + j )]
j =0 n
k −1
k −1
则插值公式 化为
N n (x ) = f 0 + ∑ f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ]ω k ( x )
k =1
n
n
∆k f 0 N n ( x0 + th ) = f 0 + ∑ [ k !⋅h k k =1
= f0 + ∑
k =1 n
∏ (t − j )h]
j =0
k −1
∆2 f k (6) N ( xk + th) = f k + ∆f k ⋅ t + ⋅ t ( t − 1) 2 f ( 3 ) (ξ ) 3 (k ) R2 ( x0 + th) = h t (t − 1)(t − 2 ) 3! 分段二次Newton ∆3 f k t (t − 1)(t − 2 ) ≈ 向前(差分)插值 3! 0<t<1 k = 0 ,1 , ⋯ , n − 2
xk ≤ x ≤ xk + 1
k = 0 ,1 , ⋯ , n − 2
Newton分段二次插值
12
余项为
f ′′′(ξ ) R ( x) = ω 3 ( x ) ≈ f [ xk , xk + 1 , xk + 2 , xk + 3 ]ω 3 ( x ) 3!
(k ) 2
(3)
( N 3 k ) ( x) = f k + ∑ f [ xk , xk +1 , ⋯ , xk +i ]∏ ( x − xk − j )
为f ( x )在 xk 处的m阶向前差分
∇ m f k = ∇ m − 1 f k − ∇ m − 1 f k − 1 为f ( x )在 xk 处的m阶向后差分
可以证明 如
∆m f k = ∇ m f k + m
∆f k = ∇ f k + 1 ∆2 f k = ∇ 2 f k + 2 ∆3 f k = ∇ 3 f k + 3
∆3 f i = 3!⋅h 3
6
∇3 fi +3 ∇2 fi +2 − ∇2 fxi +3 = = 3 3!⋅h3 − 3 ⋅ 2h
依此类推
∆m f i ∇m fi +m f [ xi , xi + 1 ,⋯ , xi + m ] = m = m!⋅h m!⋅hm ∆k f 0 f [ x0 , x1 ,⋯ , xk ] = k !⋅h k
但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线 在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导 等缺点
17
4
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
∆f 0
∆f 1
∇f1
∇f2
∇f3
∆2 f 0
∇ f2
2
∆ f0
3
x2 f 2
∆f 2
x3 f 3 x4 f 4
∆ f1
2
∇3 f3
∇ f3
2
∆ f1
3
∆ f0
4
∆f 3
∆ f2
2
∇3 f4 ∇2 f4
∇4 f4
9
称
N n ( x0 + th ) = f 0 + ∑
k =1

n
∆k f 0 [ k!
∏ (t − j )]
j =0
k −1
为Newton向前插值公式 插值余项为
f ( n + 1 ) (ξ ) n + 1 h ∏ (t − j ) Rn ( x0 + th ) = ( n + 1)! j =0
n
i =1 j =0 k i −1
余项为
f ( k + 1 ) (ξ ) ω k + 1 ( x) Rk (x) = ( k + 1)!
k = 1 ,2 ,⋯ , n m = 0 ,1,2 ,⋯ ≈ f [ xn − m , xn − m − 1 ,⋯ , xn − m − k − 1 ]ω k + 1 ( x ) 14
xn −1 ≤ x ≤ xn
对分段二次及分段三次插值都没有相应的插值公式 若 xn − 2 ≤ x ≤ xn − 1 对分段三次插值也没有相应的插值公式 此时应改用Newton基本后插公式,此处只列出公式 (4) Newton − k阶基本后插公式，起点为xn − m
N k (x) = f n − m + ∑ f [ xn − m , xn − m −1 , ⋯ , xn − m −i ]∏ ( x − xn − m − j )
∇fi+1 − ∇fi+2 ∇2 fi+2 = = 2 2h2 − 2h f [ xi , xi + 1 , xi + 2 ] − f [ xi + 1 , xi + 2 , xi + 3 ] f [ xi , xi + 1 , xi + 2 , xi + 3 ] = xi − xi + 3