f(xn) △f(xn-1)
计算方法四③
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向后差分表
x x0 y f(x0) 一阶差分 二阶差分 ...... n阶差分
x1
x2 x3 ... xn
f(x1) ▽f(x1)
f(x2) ▽ f(x2) f(x3) ▽ f(x3) ... ...... f ( x n) ▽ f ( x n) ▽ 2f(x2) ▽ 2f(x3) ...... ▽ 2f(xn)
▽fi=fi –fi-1
...... ...... ...... ▽ nf ( x n)
计算方法四③
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例3:
已知函数y=sinx的如下函数表， xi sin(xi) 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
建立差分表 解: x y 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.6 0.56464
f(0.6)
计算方法四③
向前差分表 一阶差分
f(0.4)
向后差分表 二阶差分
▽ 2f(0.6) -0.00480 △2f(0.4)
▽f(0.5) 0.09001 △f(0.4)
0.08521
▽f(0.6)
▽ 2f(0.6)
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例4 证明当节点xi是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)) 时，差分与差商存在如下关系： n
x
x0 x1 x2 x3
y
f ( x 0)
一阶差分 二阶差分
△fi=fi+1 -fi △2f(x0) △2f(x1)
......
n阶差分
f(x1) △f(x0) f(x2) △f(x1) f(x3) △f(x2) ......
...
xn
...
......
......
△2f(xn-2)
......
...... △ n f ( x 0)
n
由此可得牛顿向前插值公式。
Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+
计算方法四③
令x=x0+th，
......+f[xo,x1,...,xn,](x-x0) (x-x1)... (x-xn-1 ) (*)
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Nn ( x) f [ x0 , x1,...,xk ] ( x x j )
、、
——为f(x)在xi处以h为步长的一阶中心差分 分别称为向前、后、中心差分算子
Ifi=fi，称I为不变算子， Efi=fi+1 ，称 E为移位算子。
计算方法四③
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由一阶差分可以定义二阶差分：
2 f i f i 1f i f i 2 2 f i 1 f i ,
计算方法四③
m1
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y0 f [ x0 , x1,, xm1 ] m1 (m 1)!h m1 y1 f [ x1, x2 ,, xm ] m1 (m 1)!h
于是n=m时
f [ x1 , x2 ,, xm ] f [ x0 , x1 ,, xm1 ] f [ x0 , x1 ,, xm ] xm x0
证：用数学归纳法证明. 当n=1时，有
y0 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
y1 y0 y0 f ( x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ] 等式成立. x1 x0 h h
假设对n=m-1(m个节点)时结论成立，即
y0 f [ x0 , x1,, xm1 ] m1 (m 1)!h
m1
y0 y1 m 1 m 1 (m 1)!h (m 1)!h mh
m 1
m 1
计算方法四③
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y0 1 m 1 m 1 y1 y0 m m m!h m!h n y 0 故对一切n，有 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h n yn 同理可证 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
令x=x0+th，则有：
n k 0 n
k 1 j 0
x x 0 0 y0 t , y y 0 0 ( t j ) h k!
n k k 1 j 0 k 0
y0 [(x0 th) ( x0 jh)] k k 0 k!h j 0
k k 1
2 y0 n y0 y0 y0t t (t 1) ... t (t 1) (t n 1) 2! n! 其中 (t与x有关)
计算方法四③
11/58 n次牛顿向前插值公式 2 y0 n y0 N n ( x) y0 y0t t (t 1) ... t (t 1) (t n 1) 2! n! 如： N1 ( x) y0 y0t 一次牛顿向前插值公式
n n
n 1
f i 1
n 1
fi , f i 1 ,
1 i 2
fi
计算方法四③
Байду номын сангаас
n 1
fi
1 i 2
n 1
k fi k 1 f i1 k 1 fi ,
(k=1,2,…,n)
n f i n1 f
n 1 f
,
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向前差分表
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定义 设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,...,n)上 的函数值为f(xi)=fi，其中h为常数，称为步长。 称△fi=fi+1 -fi—为f(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分
▽fi=fi –fi-1—为f(x)在xi处以h为步长的一阶向后差分
h h δfi f ( xi ) f ( xi ) f 1 f 1 i i 2 2 2 2


m
y0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k k! h
k
由此可得牛顿向 前插值公式。
计算方法四③
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例4 证明当节点xi是等距离(xi=x0+ih,yi=f(xi)) 时，差分与差商存在如下关系：
同理可证
y0 f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h n yn f [ x0 , x1 ,, xn ] n n!h
2
二阶向前差分
f i f i f i 1 f i 2 f i 1 f i 2 , 二阶向后差分
2 f i f
1 i 2
f
1 i 2
f i 1 2 f i f i 1 , 二阶中心差分
k阶差分
一般地，可定义n阶差分为
fi