初二数学提高题[附答案]综合题1．如图（1），直角梯形OABC 中，∠A= 90°，AB ∥CO, 且AB=2，OA=2，∠BCO= 60°。
（1）求证：OBC 为等边三角形；（2）如图（2），OH ⊥BC 于点H ，动点P 从点H 出发，沿线段HO 向点O 运动，动点Q 从点O 出发，沿线段OA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为1/秒。
设点P 运动的时间为t 秒，ΔOPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出t 的取值范围；（3）设PQ 与OB 交于点M ，当OM=PM 时，求t 的值。
3∆图(1)60︒B C A o 图(2)60︒M P QH B A（备用图）H 60︒B CA33333333解：1)根据勾股定理，AB=2，OA=2，则BO=4=2AB ，所以△ABO 是一个30°60°90°的三角形。
∵AB//CO ，∠A=90°∴∠AOC=180°-90°=90°∵∠AOB=30°，∴∠BOC=90°-30°=60°=∠C∴△OBC 为等边三角形2)∵点P 运动的时间为t 秒，∴OQ=PH=t∵OH ⊥BC ，∴∠CHO=90°，∴∠COH=30°，OH=( /2)BC=2∴∠QOP=60°，OP=2 -t ∴S=1/2t(2 -t)× /2=3/2t- /4t ²，且(0<t<2 )3)∵OM=PM ，∴∠MOP=∠MPO=30°∵∠QOP=60°，∴∠PQO=90°，∴OP=2OQ得到方程：2 -t=2t ，解得t=(2/3)332. 如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B 在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°。
AH⊥OB，垂足为点H。
（1）求直线l所对应的正比例函数解析式； （2）求线段AH和OB的长度； （3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
解：1)设y=kx为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3 2)AH即A的纵坐标，∴AH=5∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5 OH即A的横坐标，∴OH=3∵OB=OH+BH，∴OB=5+3=83)∵OB=8，OP=x，∴BP=8-xADEF F E DA ∴S △ABP=1/2BP×AH=1/2(8-x)×5=20-(5/2)xx 的取值范围是0≤x ＜83．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点D 是AB 上一点，AE ⊥AB ，且AE ＝BD ，DE 与AC 相交于点F 。
（1）若点D 是AB 的中点（如图1），那么△CDE 是 等腰直角三角形 三角形，并证明你的结论； （2）若点D 不是AB 的中点（如图2），那么（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，请说明理由； （3）若AD ＝AC ，那么△AEF 是等腰三角形。
（不需证明）解：1)△CDE是等腰直角三角形2）成立，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∴∠EAC=90°-45°=45°=∠B 在△ACE与△BCD中，∵AE=BD，∠EAC=∠B，AC=BC，∴△ACE≌△BCD∴CE=CD，∠ACE=∠BCD∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90°∴△CDE是等腰直角三角形4．如图，直线经过原点和点，点B 坐标为（1）求直线l 所对应的函数解析式；（2）若P 为射线OA 上的一点，①设P 点横坐标为，△OPB 的面积为，写出关于的函数解析式，指出自变量x 的取值范围．②当△POB 是直角三角形时，求P 点坐标．解：1)设y=kx 为直线l 的解析式当x=3,y=6时，6=3k ，k=2，∴y=2x 是直线l 的解析式2)①P 在射线OA 上，设P 横坐标为x ，纵坐标为2xS=1/2×OB×2x=4x ，∴S=4x 是解析式，x 的取值范围x ＞0 ②在Rt △P ₁OB 中，P 的坐标(4，8)在Rt △P ₂OB 中，P 的坐标(4/5，8/5)l (3,6)A (4,0)x S S x5、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n那么：（1）以x、m、n为边长的三角形是什么三角形？（请证明）（2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:AB。
解：1)以x、m、n为边长的三角形是直角三角形作△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°在△MNC与△DNC中∵CM=CD，∠MCN=∠DCN，CN=CN，∴△MNC≌△DNC∴MN=DN=n，AM=BD=m∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90°∴△DBN(以x、m、n为边长的三角形)是个直角三角形Q R P CB A6．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠A＝90°，AB ＝AC ＝1，P 是AB 边上不与A 点、B 点重合的任意一个动点，PQ⊥BC 于点Q ，QR ⊥AC 于点R 。
（1）求证：PQ ＝BQ ；（2）设BP ＝x ，CR ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当x 为何值时，PR//BC 。
解：1)∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B=∠C=45°∵PQ ⊥BC ，∴∠PQB=90°，∴∠B=∠BPQ=45°，∴BQ=PQ2)∵BP=x ，BQ=PQ ，PQ ⊥BQ ，∴勾股定理BQ=PQ=（1/2） x ∵∠A ＝90°，AB ＝AC ＝1，∴勾股定理CB= ，∴CQ= -(1/2) x∵QR ⊥AC ，∴勾股定理得y=1-0.5x ，且x 的取值范围0<x<13)∵PR//BC，∠A＝90°，AB＝AC，∴AP=AR∵AR=x/2，AP=AB-BP=1-x∴得到方程x/2=1-x，解得，x=2/3∴当x为2/3的时候，PR//BC7．在直角三角形ABC中，∠C＝90○，已知AC＝6cm，BC＝8cm 。
（1）求AB边上中线CM的长；（2）点P是线段CM上一动点（点P与点C、点M不重合），求出△APB的面积y（平方厘米）与CP的长x（厘米）之间的函数关系式并求出函数的定义域（3）是否存在这样的点P，使得△ABP的面积是凹四边2形ACBP面积的，如果存在请求出CP的长，如果不存在，3请说明理由。
解：1)∵∠C＝90○，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB=10cm，∴CM=1/2AB=5cm2)作CD⊥AB，PE⊥AB∵S△ABC=(1/2)AB×CD,S△ABP=(1/2)AB×PE，∴S△ABC/S△ABP=CD/PE∵S△ABC=1/2×6×8=24，AB=10，∴CD=48/5∵PM=5-x，∴S△PMB/S△ABC=PD/CE=(5-x)/5，∴y/24=(5-x)/5，y=(24/5)(5-x)是解析式，其中x的定义域0<x<53)存在，根据题意，S四边形ACBP=2 S△ABP，∴24-y=2y，y=8当y=8时，8=(24/5)(5-x)，解得，x=5/2∴当x=5/2时△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的2/3。
8、如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ。
设AP=x，BE=y （1）线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为E求y 与x的函数关系式及x取值范围；（2）在（1）的条件是否存在x的值，使△PQE为直角三角形?若存在，请求出x的值，若不存在请说明理由。
解：连接PF、QF，∵EF垂直平分PQ，∴PF=QF∵∠A=∠D=90°，∴AP²+AF²=DF²+DQ²即x²+(6-y)²=y²+(8-x)²,∴3y=4x-7,y=(4x-7)/3其中x的定义域0<x<89．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F．（1）如图, 当点E在线段CA上时, 求证：BE⊥CD；（2）若BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论；（3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．解：1)∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=BD=CD，∴∠CBA=∠DCB，∠A=∠DCA∵∠CBE=∠A，∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：∠CBA=∠BEC，∴∠DCB=∠BEC∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠CBE+∠DCB=90°，∴∠BFC=90°，即CD⊥BE2)∵BE=CD，∴BE=AD=BD=CD，∴AB=2BE∵∠CBE=∠A，，∠BCE=∠ACB∴△BCE∽△ACB，∴BC：CA=1：2，∴AC=2BC3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45°①当点E在线段CA上时，∠A=1/2∠BDF=22.5°②当点E在线段CA延长线上时，∠BAC=(180°-∠CDA)/2=67.5°10．已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．解：1)∵A 在两个函数图象上，∴2=3k,k=2/3，即正比例函数y=2x/3∴2=k/3,k=6，即反比例函数y=6/x2)当0<x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值3)∵M(m,n),∴n=6/m,N(0,n) C(3,0),D(3,n)S 四边形OADM=S 梯形OADB-S △OMB=[（n-2)+n]×(3/2)-(mn/2)=3n-3-3=3n-6=6∴n=4，∴m=6/4=3/2，即M(3/2,4)∵A(3,2)，∴OC=BD=3，∴BM=DM11．已知：如图，在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AC =6，点D 在边BC 上，A D平分∠CAB ，E 为AC上的一个动点（不第26题图FE DC BA与A、C重合），E F⊥AB，垂足为F．（1）求证：AD=DB；（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.解：1）∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°,∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°=∠B，∴AD=DB2）∵BF=y=AB-AF=12-AF，∵EF⊥AB,∠A=60°，∴∠AEF=30°∴AF=1/2AE=1/2(AC-CE)=1/2(6-X)，∴y=12-1/2(6-X)=9+1/2x∴y=9+1/2x为解析式3)∵∠DEF=90°,∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°，∴∠EDC=30°∴AE=ED=2EC，∵AE+EC=AC=6，∴EC=2当EC=x=2时，y=9+1/2×2=10，即BF=10M AD EC B第12．如图，在△中，∠=90°，∠=30°，是边上不与点A 、C 重合的任意一点，⊥，垂足为点，是的中点.（1）求证：=；（2）如果=，设=，=，求与的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点在线段上移动时，∠的大小是否发生变化？如果不变，求出∠的大小；如果发生变化，说明如何变化.解：1）∵∠ACB=90°，DE ⊥AB ，∵M 是BD 的中点，∴CM=1/2BD=EM2）∵CM=y ，∴BM=DM=EM=y∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC ，∵BC=，∴AB=2，∴AC=3，∴CD=3-xABC ACB A D ACDE AB E M BD CM EM BC 3AD x CM y y x D AC MCE MCE 33∴(3-x)²+3=4y²，y=1/2 ,其中x的定义域是0<x<3 3)∵CM=BM，∴∠MBC=∠MCB，∵BM=EM，∴∠MBE=∠MEB，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°∵∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°，∵∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD∴∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°，∵CM=EM，∴∠MCE=∠MEC=30°。