高中数学-直线与平面的夹角练习课后导练基础达标1.直线a与平面α内任一条线所成最小的角为θ，a是平面α的斜线，b是平面α内与a 异面的任意直线，则a与b所成的角（）πA.最小值为θ,最大值为π-θB.最小值为θ,最大值为2πC.最小值为θ,无最大值D.无最小值，最大值为2答案：B2.如右图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1C1与平面ABC1D1所成的角（）A.30°B.60°C.45°D.90°答案：A3.正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B和面BB1D1D所成的角为（）A.15°B.45°C.60°D.30°答案：D4.如左下图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值________________.15答案：55.如右上图，S是△ABC所在平面外一点，SA，SB，SC两两垂直，判断△ABC的形状_________. 答案：锐角三角形6.四面体S-ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成角的正弦值.解析：(1)如右图,∵SA、SB、SC两两垂直,∴SC⊥面SAB.∴∠CBS 是BC 与平面SAB 所成的角. ∵∠CBS=60°,∴BC 与平面SAB 所成的角为60°.(2)连结MC,在Rt△ASB 中,∠SBA=45°,则SM⊥AB. 又SC⊥面SAB, ∴SC⊥AB,∴AB⊥面SMC.过S 作SO⊥MC 于点O,则SO⊥AB, ∴SO⊥面ABC,∴∠ SCM 是SC 与平面ABC 所成的角. 设SB=a,则SC=3a,SM=22a, 在Rt△CSM 中,CM=214a, ∴sin∠SCM=77=MC SM . 7.在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，PA 是平面ABC 的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，（1）求PA 与平面ABC 所成角的大小；（2）PA 的长等于多少时，点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上？解：(1)如右图,过P 作PO⊥平面ABC 于O,则∠PAO 为PA 与平面ABC 所成的角, 易证AO 为∠BAC 的平分线,则∠OAB=45°.由公式cosθ=cosθ1·cosθ2可得 cos∠PAO=OABPAB∠∠cos cos=2245cos 60cos =, ∴∠PAO=45°.∴PA 与平面ABC 所成的角为45°.(2)若O∈BC,在△AOB 中, BO=715,sinB=54, 由正弦定理可求得AO=2712. ∴PA=724sin =B AO f, 即PA=724时,点P 在平面ABC 上的射影O 恰好在BC 边上.8.如右图,在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 是侧棱CC 1上的一点,CP=m. 试确定m,使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32.解：建立如右图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,,m),C(0,1,0),D(0,0,0), B 1(1,1,1),D 1(0,0,1)所以BD =(-1,1,0),1BB =(0,0,1),AP =(-1,1,m),AC =(-1,1,0),又由AC ·BD =0,AC ·1BB =0知, AC 为平面BB 1D 1D 的一个法向量. 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ, 则sinθ=cos(2π-θ) =2222||||mAC AP AC AP +•=依题意有22)23(123222+=+•m,解得m=31,故当m=31时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为32. 9.如右图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，AA 1=4，E 为BC 的中点，F 为直线CC 1上的动点，设FC F C λ=1C 1F=λFC.当λ=3时，求EF 与平面ABCD 所成的角.解析：如右图建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),E(1,2,0).当λ=3时,F(0,2,1),EF =(-1,0,1).设平面ABCD 的法向量为n ,则n =(0,0,1).设EF 与n 的夹角为θ,则cosθ=22||||=•n EF n EF ∴EF 与平面ABCD 所成的角为45°. 综合运用10.如下图所示，正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1=8，BD 1与侧面BC 1所成的角为30°. 求：BD 1和底面ABCD 所成的角.解：正四棱柱AC 1中,CC 1⊥底面A 1C 1, ∴CC 1⊥D 1C 1,∵底面是正方形,∴D 1C 1⊥B 1C 1, ∴D 1C 1⊥侧面BC 1, ∴D 1C 1⊥BC 1,∴∠D 1BC 1就是BD 1与侧面BC 1所成的角. ∴∠D 1BC 1=30°,∵D 1B=8,∴D 1C 1=4,B 1D 1=24=BD.∵D 1D⊥底面AC,∴∠D 1BD 就是BD 1与底面AC 所成的角. △D 1BD 中,cos∠D 1BD=228241==BD BD . ∴∠D 1BD=45°,即BD 1和底面ABCD 所成的角为45°.11.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1底面边长为a ，侧棱长为2a.(1)建立适当的坐标系，并写出点A 、B 、A 1、C 1的坐标； （2）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. 解：(1)以点A 为坐标原点O,以AB 所在直线为Oy 轴,以AA 1所在直线为Oz 轴,以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴,建立空间直角坐标系, 由已知,得A(0,0,0)、B(0,a,0)、A 1(0,0,2a)、C 1(-23a,2a,2a). (2)坐标系如右图，取A 1B 1的中点M ，于是有M （0，2a,2a ）,连结AM 、MC 1,有1MC =(23-a,0,0)且AB =(0,a,0),1AA =(0,0,2a).由于1MC ·AB =0,1MC ·1AA =0,∴MC 1⊥面ABB 1A 1.∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角. ∵1AC =(23-a,2a ,2a),AM =(0,2a,2a), ∴1AC ·AM =0+42a +2a 2=49a 2.而|1AC |=2222443a a a ++=3a,|AM |=2224a a +=23a.∴cos〈1AC ,AM 〉=23233492=•a a a. ∴1AC 与AM 所成的角,即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 12.如下图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C⊥平面C 1BD.证明：因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,所以A 1A⊥平面ABCD. 连结AC,则AC 是A 1C 在平面ABCD 内的射影. 又BD⊥AC,故由三垂线定理知BD⊥A 1C. 又A 1B 1⊥平面B 1BCC 1,连结B 1C,则B 1C 是A 1C 在平面B 1BCC 1内的射影. 因为BC 1⊥B 1C,所以由三垂线定理知 BC 1⊥A 1C.因为BD∩BC 1=B ， 所以A 1C⊥平面C 1BD. 拓展研究13.如下图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点.（1）证明PA∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角为正切值.分析：如下图所示建立空间直角坐标系,D 是坐标原点,设DC=a.(1)证明:连结AC,AC 交BD 于G,连结EG. 依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2a ,2a ). 因为底面ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心. 故点G 的坐标为(2a ,2a,0).所以PA =(a,0,-a). EG =(2a ,0,-2a).所以PA =2EG . 这表明PA∥EG.而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，因为PA∥平面DEB. (2)解:依题意得B(a,a,0),C(0,a,0).取DC 的中点F(0,2a,0),连结EF,BF. 因为FE =(0,0,2a ),FB =(a,2a,0),DC =(0,a,0).所以FE ·FB =0, FE ·DC =0.所以FE⊥FB,FE⊥DC.所以EF⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影. ∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. |EF |=2a ,|FB |=22)2(a a +=25a.所以25252||==a aFB FE . 所以,EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.。