高中平面几何叶中豪学习要点几何问题的转化圆幂与根轴P ’tolemy 定理及应用几何变换及相似理论位似及其应用完全四边形与Miquel 点垂足三角形与等角共轭反演与配极，调和四边形射影几何复数法及重心坐标方法例题和习题1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且()sin 1tan sin 2θθγγ⋅+=。

求证：2EF=DE+DC 。

（.gsp ）2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B 弧段上任意一点。

∠APB的平分线交圆O'于Q点。

求证：PQ2=PA×PB。

（-1.gsp）3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。

（.gsp）4．在△ABC中，已知∠A的内角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A 和另一点P。

求证：APsp）5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。

求证：AB、CE、DF共点。

（.gsp）6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。

求证：∠PQC=∠PQD。

（.gsp）7．已知RT△ABD∽RT△ADC，M是BC中点，AD与BC交于E，自C作AM 垂线交AD于F。

求证：DE=EF。

（.gsp）8．在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，E是△ABC外一点，满足CE⊥AB，BE=BD。

过线段BE的中点M作直线MF⊥BE，交△ABD的外接圆的劣弧AD于点F。

求证：ED⊥DF。

（2010年女子竞赛）（）9．设圆I1是△ABC的BC边外的旁切圆，D、E、F分别是切点，若I1D与EF 交于P点。

求证：AP平分底边BC。

（）10．如图，⊙于点C，M是边BC上一点，AM交CD于点N．求证：M是BC中点的充要条件是ON⊥BC。

（）11．已知：BC是圆上的定弦，而动点A在圆上运动，M是AC中点，作MP⊥AB于P。

求P点的轨迹。

（）12．△ABC外接圆为圆O，P为AB上一点，过P分别作OA、OB的垂线，与AC、BC交于S、T，与AB交于M、N。

求证：PM=MS的充要条件是PN=NT。

（）13．在ΔABC中AC＞BC，F是AB的中点，过F作它的外接圆直径DE，使得C、E在AB同一侧，又过C做AB的平行线交DE于L。

求证：(AC+BC) 2＝4DL×EF。

（）14．已知：P是垂直ABC外接圆BC弧上任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥CA于E，PF⊥AB于F。

求证：(BC/PD)＝(AC/PE)+(AB/PF)。

（）15．已知O是△ABC的外心，M是BC边中点，D是OM延长线上一点，满足DO=DB，E、F分别是AB、AC边上的点，满足∠MEA=∠MFA=∠A。

求证：AD⊥EF。

（.gsp）16．已知△ABC中，AB＝AC，线段AB上有一点D，线段AC延长线上有一点E，使得DE＝AB。

线段DE与△ABC的外接圆交于点T，P是线段AT延长线上的一点。

求证：点P满足PD＋PE＝AT的充要条件是P在△ADE的外接圆上。

（2000年国家集训队）（）17．已知△ABC中，内心I关于BC边中点M的对称点为I'，S是BC弧（不含A点）中点，直线SI'交△ABC的外接圆于另一点P。

求证：P点到△ABC 较远的顶点距离等于到另两个顶点距离的和。

（）BS18．在△ABC外作△DBC∽△ECA∽△FAB，联结AD、BE、CF。

求证：AF+FB+BD+DC+CE+EA≥AD+BE+CF。

（）E19．过△ABC内一点O引三边AB、BC、CA的平行线与其它两边的交点分别为E、F、G、H、I、K，过O作△ABC的外接圆的弦AL。

求证：OE·OF＋OG·OH＋OI·OK＝OA·OL。

（）20．一小圆内切大圆于点N，BA、BC是大圆的两条弦，且分别切小圆于K、M，劣弧AB和劣弧BC的中点分别为Q、P，又设△BQK、△BPM外接圆的另一个交点为B1。

求证：BPB1Q为平行四边形。

（）21．圆O与圆O1、圆O2同时相切，切点为S、T，圆O1与圆O2交于A、B两点，且圆O2的圆心恰在圆O1上。

设公共弦AB延长交圆O于C、D两点，联结SC、SD分别交圆O1于P和Q。

求证：PQ与圆O2相切。

（40届IMO）（.gsp）22．设KL、KN是圆O的切线，M是KN延长线上一点，过K、L、M三点的圆与圆O交于P，作NQ⊥LM于Q。

求证：∠MPQ=2∠NML。

（98年伊朗竞赛）（-5、）（）K23．设△ABC AB于F，交AC 延长线于G TF⊥GE。

（.gsp）24．已知圆O外一点P向圆O作切线PA、PB和一条割线PEF，M是EF上一点，联结BM延长交圆O于C。

求证：ACP32．凸四边形ABCD内接于圆O，两组对边所在直线分别交于点E、F，对角线AC、BD交于G，作GH⊥EF于H，圆O的弦MN经过G点。

求证：GH 与圆O交点恰是△HMN的内心。

（）33．⊙O为△ABC的外接圆，P为劣弧AB上一点，E、F分别为AC、AB延长线上的点，BE、CF交于D，PE、PF分别交⊙O于S、R。

若AD、BC、RS 共点，求证：点D在⊙O上。

（.gsp）（）E34．已知：D、E、F分别在△ABC三边上，满足EB＝ED，FC＝FD，O是△ABC外心。

求证：A、E、O、F四点共圆。

（）B35．如图，设N是△ABC的BAC弧中点，M是BC边中点，I是△ABC的内心。

求证：∠ANI＝2∠IMC。

（）36．设T 为△ABC 的内切圆与BC 边的切点，D 为BC 上任一点，I 1、I 2分别为△ABD 、△ACD 的内心。

求证：T I 1⊥T I 2。

（）B37．矩形ABCD 中，AB AC 。

P 是以为AB 直径的半圆上任意一点，PC 、PD 分别交AB 于F 、E 。

求证：AE 2＋BF 2＝AB 2。

（）B38． AB 是圆O 的直径，P 是过B 所作切线上的任一点，过P 作圆O 的割线PCE ，联结直线PO 分别交AC 、AD 于E 、F 。

求证：OE=OF 。

（）39．自圆O外一点P作切线PA、PB及割线PCD，自C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F。

求证：CE=EF。

（）40．A为圆O上一点，B为圆外一点，BC、BD分别相切圆O于C、D，DE 垂直AO于E，DE分别交AB、AC于F、G。

求证：DF＝FG。

（）A41．P为圆外一点，PA、PD为切线，PCE为割线。

过D作PA的平行线，分别与AC延长线及线段AE交于B、F。

求证：D为BF中点。

（）42．已知P、Q是等腰三角形ABC（AB=AC）内两点，满足∠ABP=∠QCB，且∠ACP=∠QBC。

求证：A、P、Q三点共线。

（）43．已知锐角△ABC中，AD是高，O是外心，AO的延长线交过O、B、C三点的圆于P，自P作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。

求证：DEPF是平行四边形。

（.gsp）44M是EF的中点，自。

（）45．AD为△ABC内角平分线，I1、I2为△ABD、△ACD的内心，以I1I2为底向BC边作等腰△E I1I2，使得∠I1EI2＝12∠BAC。

求证：DE⊥BC。

（）46．已知P是凸四边形内一点，满足∠PAB=∠CAD，∠PCB=∠ACD。

求证：PB=PD的充要条件是ABCD四点共圆。

（2004年IMO）（）（）47．已知D是△ABC底边BC上任一点，P是形内一点，满足∠1=∠2，∠3=∠4。

求证：(PB/PC)=(AB/AC)。

（）C48．已知：D是△ABC的BC中垂线上一点，I1、I2是△ABD、△ACD的内心，E是△ABC外接圆弧BAC的中点。

求证：A、E、I1、I2四点共圆。

（）49．如图，△ABC中，M为BC的中点，以AM为直径的圆分别与AB、AC 交于E、F两点，圆在E、F两点的切线交于点D。

求证：DM⊥BC。

（）50．已知：⊙O两切线PA、PB和一割线PCD，AD、AP交C处的切线于E、F，BE交DF于K。

求证：K在圆O上。

（）51．设⊙O1与⊙O2交于C、D。

过D的直线交⊙O1与⊙O2于A、B。

点P 在弧AD上，PD与AC的延长线交于M，Q在弧BD上，QD与BC的延长线交于N，O为△ABC外心。

求证：MN⊥OD是P、Q、M、N四点共圆的充要条件。

（）52．设X是P点的Simson线关于△ABC的垂极点。

求证：XP被Simson线所平分。

（）53．已知：AD是高，O、H是外心和垂心，过D作OD垂线，交AC于E。

求证：∠DHE=∠C。

（）54．△ABC中，AD为边BC上的中线，E、F、G分别为AB、AC、AD上的点，且A、E、G、F四点共圆。

设△BDE外心为O1、半径为r1；△CDF 外心为O2、半径为r2。

求证：GO12＋GO22＝r12＋r22。

（）B55．已知P是△ABC内一点，A1、B1、C1分别是圆弧BPC、CPA、APB的中点。

求证：P、A1、B1、C1四点共圆。

（）56．给定△ABC，D、E、F是边BC、CA、AB上的任意三点，M、N分别是△BDF、△CDE的外心。

P、Q分别是BC、MN上的点，满足(BP/PC)=(MQ/QN)。

AP与⊙AEF相交于R点。

求证：（1）QR=QD；（2）∠RQD=2∠APC。

（）C57．已知⊙O1与⊙O2交于C、D两点，A、B分别是两圆上的点，满足PA ＝PB，E、F是弧AQ、BQ中点。

求证：C、D、E、F四点共圆。

（）58．△ABC中，D、E、F是边BC、CA、AB的中点，X、Y、Z是各边上高的垂足，EZ与FY交于L，FX与DZ交于M，DY与EX交于N。

求证：L、M、N三点共线。

（.gsp）59．设△ABC的内切圆分别与三边切于D、E、F，联结AD交内切圆于另一点P，联PB、PE、PF。

求证：PFB C1A3A1A2A1A2A21OA3sp）67．已知M、N是四边形ABCD对边AD、BC上任意两点，E、F是对边AB、CD上两点，满足(AE/EB)=(CF/FD)=(AM/MD)*(CN/NB)，AN、BM交于P，CM、DN交于Q。

求证：PQ//EF。

（）。