自然数）为谐波振幅，φn为相应谐波的初相角。其中，n为1的一次
谐波也称为基波。
9
二、傅里叶级数的指数形式
便于计算
a0 e jn0t cos n0t j sin n0t f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 jn0t jn0 t jn0 t jn0 t e e e e a0 an bn 2 n1 2 2j an jbn a0 an jbn jn0t an jbn jn0t F e e 令 n 2 2 n1 2 2
13
2 若f t 以T0为周期，f t Fn，0 ， T0
证明:
f t t1 e jn0t1 Fn
1 T Fn 2T f t e jn0t dt T 2
2 若f t 以T0为周期，f t Fn，0 ，同时令f t t1 H n T0 T0 1 jn0t 2 根据定义，可知： H n f t t e dt T0 1 T0 2

t2
t1
0， i j i t t dt Ki 0， i j
j
Ki为常数
则称此复函数集为正交函数集。φj*(t)为函数φj(t)的共轭 复函数。 举 例 1、三角函数集{1，cosω0t，cos2ω0t ，…, cosmω0t ，…，
sinω0t ，sin2ω0t ， …，sinmω0t …}在区间（t0，t0+T）
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 A0 f t An cos n0t n 2 n1
单边
物理解释：满足狄里赫利条件的周期函数可以分解为直流和许多余弦
（或正弦）分量。其中第一项A0/2是常数项，也即为信号所包含的直 流分量；从第二项开始，是信号的谐波分量，n为谐波次数，An（n为
则x t 的傅里叶级数表示式为x t f t g t T0 FnGn
4、微分性质
周期信号f t 和g t 的卷积定义为x t f g t d
0
T0
则有f t 导数f t 的傅里叶系数f t jn0 Fn 若f t 的傅里叶系数为Dn， Dn 则f t 的傅里叶系数Fn n 0 jn0

t2
t1
0， i j i t j t dt Ki 0， i j
Ki为常数
则称此实函数集为在区间（t1，t2）的正交函数集；如果Ki=1， i=1，2，…n，则此函数集是归一化的正交函数集。
3
如果是复函数集，正交是指：若复函数集{φn(t)}（i=1， 2，…n）在区间（t1，t2）满足
2 T a0 2T f t dt T 2
b0=0，an=a-n，bn=-b-n
7
变换成仅含cos项
an
n
An
bn
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1 A0 An cos n cos n0t An sin n sin n0t 2 n1 A0 An cos n0t n 2 n1
三角函数型傅里叶级数
t2 f t j t dt t 1 Cj t2 2 t1 j t dt
2 T an 2T f t cos n0tdt，n 1， 2， T 2 2 T bn 2T f t sin n0tdt，n 1， 2， T 2
1
引
言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信 号f(t)，或者说，信号f(t)用完备的正交函数集来 展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。
采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
（T=2π/ω0 ）组成完备的正交函数集。
单边
2、复函数集{ejn ω0t}（n=0，±1，±2，…）在区间（t0，t0+T） 双边 （T=2π/ω0）内是完备的正交函数集。
4
二、信号的正交分解
理论上讲，当n趋于无穷大
f t C j j t
j 1
n
即，集合{φj(t)}（j=1，2，…n）是（t1，t2）上f(t)的正交 完备集，也称为基函数或基信号。
6
一、傅里叶级数的三角函数形式
三角函数集: {1，cosω0t，cos2ω0t ，…, cosmω0t ，…， sinω0t ，sin2ω0t ， …，sinmω0t …}
周期函数f t 在区间t1，t1 T 内可用三角函数集表示为
其中，
a0 f t an cos n0t bn sin n0t 2 n1

Hn e jn0t1 Fn
证毕！
14
证明卷积性质
T0 0
f t Fn，g t Gn，x t f g t d，同时令x t X n
1 T Fn 2T f t e jn0t dt T 2
1 根据定义，可知： X n T0

③一个周期T内，具有 特点：（1）定义域从-∞到+∞。 有限个极大与极小值。 （2）当在一个周期内的信号确定后，若将其移动 T的 整数倍，则信号的波形保持不变。 a T b T （ 3）

a
f t dt
b
f t dt
只有当周期信号满足狄里赫利条件时，才能展开成傅里叶级数。


T0
g l e jn0l dl d
f e
jn0
Gn d
乘以除以T0

1 T0Gn T0

T0
0
f e
jn0
d T0 FnGn
证毕！
15
证明微分性质 f t Fn ，f t Dn
式中
an An cosn ，n 1， 2， bn An sin n
2 An an bn2
n的偶函数 n的奇函数
系数关系
n的偶函数
b0 0 A0 a0
bn n arctan ，n 1， 2， n的奇函数 an
8
两种三角函数形式:
2
3.1 信号分解为正交函数
一、正交函数集
如有定义在（t1，t2）区间两个实函数φ1(t)，φ2(t)，若满足

t2
t1
1 t 2 t dt 0
则称φ1(t)，φ2(t)在区间（t1，t2）内正交。 如果n个实函数φ1(t)，φ2(t)，…，φn(t)构成一个函数集， 当这些函数在区间（t1，t2）内满足以下条件：
其中：
t2 f t j t dt t 1 Cj t2 2 t1 j t dt
一个信号或函数可用各种各样的完备正交信号集来表示。 1、如f(t)在区间内与φj(t)正交，则f(t)必属于该正交集。 2、若f(t)与φj(t)正交，但φj(t)中不包含f(t)，则此集不完备。




由an，bn的表示式可以知道， an=a-n，bn=-b-n，b0=0，则:
F0 an jbn 2
n 0
a0 jb0 a0 2 2
F n
a n jb n an jbn 2 2
1 jn0t jn0t jn0 t jn0 t f t F0 Fn e Fn e Fn e Fn e jn0 t F n e n 1 n 0 n n n1
5
3.2 周期信号的傅里叶级数及基本性质
1822年，法国数学家傅里叶，“热的分析理论”著作（热传导 理论），提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理。 ① f t dt T 周期信号：定义在（-∞，∞）区间，每隔一定时间 T，按相同 ②一个周期T内，f(t) 规律重复变化的信号。可表示为：f(t)=f(t+mT)。 具有有限个不连续点；
令τ= t - t1，则t =τ+ t1，上式改写为
T0 t1 2 T 0 t1 2
1 Hn T0

f e
jn0 t1
d
T0 t1 1 jn0t1 jn0 2 e d T0 t f e T 2 1 Fn
f t
n


Fn e jn0t
双边
10
an An cosn , bn An sin n ,
三角函数与指数形式之间的系数关系 A a 2 b 2 , n n n
f t
n


Fn e jn0t
Fn
an jbn 2
bn n arctan ，n 1， 2， an
1 根据定义，可知：Dn T0

T0 2 T 0 2
T0 f g t d e jn0t dt 0
1 T0
根据周期信号的性质： X n
变换t积分范围


T0 0
T0
0
T0 f g t d e jn0t dt 0
卷积积分是收敛的： X n
Fn 1 2 An e
j n
, Fn
1 2
An
an bn
T T 2
2