时移性
Q 根据傅里叶变换的线性性质可得： 1 U (t ) « p d (w ) + jw 1 U (t - 3) « e - j 3w (p d (w ) + ) 时移性 jw 1 1 = e - j 3wp d (w ) + e - j 3w = p d (w ) + e - j 3w jw jw 1 1 \ U (t ) - U (t - 3) « p d (w ) + - p d (w ) - e - j 3w jw jw 1 = (1- e - j 3w ) jw
2p 5p t ) + 4sin( t ) ， 将其表示成复指数信号形 3 3
式，求 Fn ( jnw0 ) ，并画出双边幅度谱和相位谱。
p 解：由三角关系式 sin(a ) = cos(a - ) 可将原式化为： 2 2p 5p p f (t ) = 2 + cos( t ) + 4 cos( t - ) 3 3 2
f (-t ) « F (- jw ) f (t )e ± jw0t « F ( j (w m w0 ) 可得： f (t + 3) « e jw 3 F ( jw ) 1 jw 3 w f (3 + 2t ) « e 2 F ( j ) 2 2 1 - jw 3 w f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2 (w -1) 1 - j3 (w - 1) jt e f (3 - 2t ) « e 2 F (- j ) 2 2
3.7 一连续周期信号 f (t ) ，周期 T=8，已知其非零傅里叶复系数是：F1 = F-1 = 2 ，
F3 = F-*3 = 4 j ，试将 f (t ) 展开成三角型傅里叶级数，求 An 并画出单边幅度谱和相
位谱。 解：根据复指数形式的傅里叶级数与三角型傅里叶级数的关系
Fn = Fn e jjn
U (t - 1) « e - jw (pd (w ) +
t 1 U ( - 1) « 2e - j 2w (pd (2w ) + ) 2 j 2w 根据冲激函数的性质： 1 Q d (aw ) = d (w ) a \ 2e- j 2wpd (2w ) = 2pd (2w )w =0 = pd (w ) \ 2e - j 2w (pd (2w ) +
d (t - 1) « e - jw
\ e-2(t -1)d (t - 1) « e - jw
(8) U (t ) - U (t - 3) 解法一： 3 U (t ) - U (t - 3) = g3 (t - ) 2 3 g3 (t ) « 3Sa( w ) 2 3 -j w 3 3 g3 (t - ) « 3Sa ( w )e 2 2 2 解法二：
(5) (1 - t ) f (1 - t ) 解法一： 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw )
w 1 jb w f (at + b) « e a F ( j ) a a
dn (-jt ) f (t ) « F ( jw ) dw n 可得：
n
d F ( jw ) dw d tf (t ) « j F ( jw ) dw - jtf (t ) «
(2) f (1 - t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e± jwt0 F ( jw ) f (-t ) « F (- jw ) 可得： f (1 + t ) « e jw f (1 - t ) « e- jw
(3) tf (3t ) 根据傅里叶变换的性质 1 w f (at ) « F ( j ) a a dn (-jt ) f (t ) « F ( jw ) dw n 可得：
可得：
Fn =
1 An 2
\
A1 = 4
Q
F1 = F1 e F1 = 2
jj1
= 2e = 2
j0
F3 = F3 e
jj3
= 4e
j
p 2
=4j
F3 = 4
j1 = 0 j3 = p 2
A3 = 8
单边幅度谱（即 An 对应的函数波形）
单边幅度频谱 An
nw0
单边相位谱 j n
p 2
nw0
3.8 已知连续周期信号 f (t ) = 2 + cos(
F0 = A0 = 2 F2 = F-2 = A2 1 = 2 2 1 2
j2 = j-2 = 0
F-2 = F-2 e jj -2 = 1 2 p j-5 = 2
j
Þ F2 = F2 e jj2 = F5 = F-5 = A5 =2 2
j5 = -j
p 2
Þ F5 = F5 e jj5 = 2e
p 2
d F ( jw ) - 2 F ( jw ) dw
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t ) y ''(t ) + 5 y '(t ) + 6 y (t ) = f '(t ) + f (t )
（1） 求系统的频率响应 H（jw）和冲激响应 h（t） ； （2） 若激励 f (t ) = e-2tU (t ) ，求系统的零状态响应 y f (t ) 。 解： 方程 1：
n
1 w f (3t ) « F ( j ) 3 3 1 d w - jtf (3t ) « F( j ) 3 dw 3 j d w \ tf (3t ) « F( j ) 3 dw 3
(4) e jt f (3 - 2t ) 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) f (at ) « 1 w F( j ) a a
式中每一项的频率都应该是基频的整数倍，因此基频是
p 。 3 根据幅度谱和相位谱的定义可得：
求得基频为 w0 =
2p 5p 、 的最大公约数。 3 3
A0 = 2
A2 = 1
A5 = 4
j2 = 0
j5 = -
p 2
1 An ， 双边相位谱是单边相位谱关于原 2
根据单边谱和双边谱的关系， Fn = F- n = 点奇对称，可得：
时移性 线性
e - j 2d (t - 2 ) « e - j 2 e - j 2w = e - j 2(w +1)
Q 根据傅里叶变换的性质 时移： f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 频移：f (t ) e ± jw0t « F ( j (w m w0 )) 可得： d (t ) « 1
y ''(t ) + 4 y '(t ) + 3 y (t ) = f (t )
= -2 j
F-5 = F-5 e jj -5 = 2e
p 2
=2j
因此， f (t ) 写成复指数形式：
f (t ) =
n =-¥
å Fe
n -
¥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
jnw0t
= F-5e -5 jw0t + F-2 e -2 jw0t + F0 + F2 e 2 jw0t + F5e5 jw0t = 2 je
5p jt 3
(6) e -2(t -1)d (t - 1)
(8) U (t ) - U (t - 3)
t (2) U ( - 1) 2 U (t ) « pd (w ) + 1 jw 1 ) jw 时移性：f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 时频展缩：f (at ) « 1 w F( j ) a a
d F ( jw ) dw d (1 - t ) f (1 - t ) « je- jw F (- jw ) d (-w ) (t + 1) f (t + 1) « je jw 解法二： (1 - t ) f (1 - t ) = f (1 - t ) - tf (1 - t ) f (1 - t ) « F (- jw )e- jw 时频展缩特性 dF (- jw ) - jw - jtf (1 - t ) « e - F (- jw ) je- jw 时域微分特性 dw dF (- jw ) - jw tf (1 - t ) « j e + F (- jw )e- jw dw dF (- jw ) - jw f (1 - t ) - tf (1 - t ) « F (- jw )e- jw - j e - F (- jw )e - jw dw dF (- jw ) - jw =- j e dw dF (- jw ) - jw = j e d (-w )
3 3 w j w -j w 1 - j3 2 2 = e (e - e 2 ) jw
冲激函数相乘特性 线性
=
w 1 - j3 3 e 2 2 j sin( w ) jw 2
欧拉公式
3 -j w 3 3 = sin( w )e 2 3w / 2 2 3 -j w 3 = 3Sa( w )e 2 2
3.27 已知 f (t ) « F ( jw ) ，利用傅里叶变换的性质，求下列信号的傅里叶变换。
d (t - 2) « e- j 2w
e - jtd (t - 2 ) « e - j 2(w +1)
(6) e -2( t -1)d (t - 1) Q 根据傅里叶变换的性质 f (t ± t0 ) « e ± jwt0 F ( jw ) 可得： e -2( t -1)d (t - 1) = d (t - 1) d (t ) « 1 冲激函数的相乘特性
线性
(6) (2t - 2) f (t ) 由题（5）可得： d tf (t ) « j F ( jw ) dw 根据傅里叶变换的线性性质： d 2tf (t ) « 2 j F ( jw ) dw \ (2t - 2) f (t ) = 2tf (t ) - 2 f (t ) « 2 j