A
第20题 N
C
B D E
F M
O
O 切线长和切线长定理的应用
例(2011·济宁)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,DE 切⊙O 于点E ,交AM 与于点D ,交BN
于点C ,F 是CD 的中点,连接OF 。
(1) 求证:OD ∥BE;
(2) 猜想:OF 与CD 有何数量关系?并说明理由。
解:(1)证明:连接OE
∵AM 、DE 是⊙O 的切线,OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………1分 ∴∠AOD=∠EOD=2
1
∠AOE …………2分 ∵∠ABE=2
1
∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………3分 (2) OF =
2
1
CD …………4分 理由:连接OC
∵BE 、CE 是⊙O 的切线
∴∠OCB=∠OCE …………5分 ∵AM ∥BN
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由(1)得 ∠ADO=∠EDO
∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………6分 在Rt △DOC 中, ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =2
1
CD ……7分
巩固提高
1、如图,AB 是半圆(圆心为O )的直径,OD 是半径,BM 切半圆于B ,OC 与弦AD 平行且交BM 于C 。
(1) 求证:CD 是圆O 的切线;
(2)若2OA =且6AD OC +=,求CD 的长?
C
O D B
A
2、在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,点O 在BC 上,以O 为圆心的圆O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ,若A B a =, AC b =,则圆O 的半径为( )
A 、ab
B 、a b ab +
C 、ab a b +
D 、2
a b
+
C E O
F
B
A C
E O
D
B
A P
E
O
F
D
B
A
例1图 例2图 例3图
3、如图,AB BC ⊥,DC BC ⊥,BC 与以AD 为直径的圆O 相切于点E ,9AB =,4CD =,则四边形ABCD 的面积为 。
4、如图,过O 外一点P 作圆O 的两条切线PA 、PB ,切点分别为A 、B ,连结AB ,在AB 、PB 、PA 上分别取一点D 、E 、F ,使AD BE =,BD AF =,连结DE 、DF 、EF ,则EDF ∠=( )
A 、90P ︒∠-
B 、1902P ︒-∠
C 、180P ︒-∠
D 、1
452
P ︒∠-
5、如图,已知ABC ∆中,AC BC =, CAB α∠=(定值),圆O 的圆心O 在AB 上,并分别与AC 、BC 相切于点P 、Q 。
(1)求POQ ∠;
(2)设D 是CA 延长线上的一个动点,DE 与O 相切于点M ,点E 在CB 的延长线上,试判断DOE ∠的大小是否保持不变,并说明理由。
N
Q
P O
D
C
B
A
6、如图,圆O 为Rt ABC ∆的内切圆,点D 、E 、F 为切点,若6AD =,4BD =,则ABC ∆的面积为 。
C
E
O F
D
B
A
7、正方形ABCD 中,AE 切以BC 为直径的半圆于E ,交CD 于F ,则:CF FD ( )
A 、1∶2
B 、1∶3
C 、1∶4
D 、2∶5
E
O
F
D
C
B
A
8、两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点O ,O′是圆心),分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ 成一条直
线,TP 、NP 分别为两圆的切线,求∠TPN 的大小.
(1) (2)
9.已知:如图,E 是相交两圆⊙M 和⊙O 的一个交点,且ME ⊥NE ,AB 为外公切线,切点分别为A 、B ,连结AE 、BE .则∠AEB 的度数为 ( ) (A )145° (B )140° (C )135° (D )130° 10、如图,AB 、AC 是⊙O 的两条切线,切点分别为B 、C ,D 是优弧上的一点,已知∠BAC =
80,那么∠BDC =__________
度.
11、如图,AB 是⊙O 的直径,四边形ABCD 内接于⊙O ,,,的度数比为3∶2∶4,MN 是⊙O 的切线,C 是切点,
则∠
BCM
的度数为___________.
12、如图,AB =8,AC =6,以AC 和BC 为直径作半圆,两圆的公切线MN 与AB 的延长线交于D ,则BD 的长为_________.
13、如图,PA 、PB 与⊙O 分别相切于点A 、点B ,AC 是⊙O 的直径,PC 交⊙O 于点D .已知∠APB =
60,AC =2,那么
CD 的长为
14、如图,PT 是⊙O 的切线,T 为切点,PB 是⊙O 的割线交⊙O 于A 、B 两点,交弦CD 于点M ,已知:CM =10,MD =2,
PA =MB =4,则PT 的长等于__________.
15、木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ,并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长,角尺的顶点B ,较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ,则用含a 的代数式表示r 为 .。