初中数学——模型12345数学解题五境界第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释．第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。

这些结论、定理规律都是解题的有用工具。

解题高手都有自己的定理库．第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。

不是所有的老师都具备编题的能力。

解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。

即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏．刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。

因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。

以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。

学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！版块一引入问题1．如图1-1，在3×3 的网格中标出了∠1 和∠2，则∠1＋∠2＝图1-1 图1-22．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC＝45°，AD 是BC 边上的高，BD＝3，DC＝2，则AD 的长为．版块二“1 2 3”+“4 5”的来源一般化结论：若α+β= 45︒则有tanα=a - 1，a + 1tanβ=1（a>1），a当 a =3时，则得到tanα=2tan β=1（了解）2 3 5当a=2 时，则得到tanα=1tan β=1（重要）2 3当a =5时，则得到tanα=2tan β=3（了解）;2 5 7当a = 4 时，则得到tanα=1tan β=3（次重要）4 55510【例 1】（济南市中考题）如图2-1， ∠AOB 是放置在正方形网络中的一个角，则cos ∠AOB 的值是 ．图 2-1【例 2】（2015 湖北十堰）如图 2-2，正方形 ABCD的边长为 6，点 E ，F 分别在 AB ，AD 上，若 CE = 3 ，且∠ECF =45°，则 CF 的长为（ ）A ． 2B ． 3C ．5103图 2-2倍角与半角构造D ．10 53当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“ 顶角⇔ 底角⇔ 顶角”解题依据“ 90︒ 1 － 顶角＝底角”． 2如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ． ⑴若 tan ∠BCA = 2 ，则 tan ∠BAC =．⑵若 tan ∠BAC = 4，则 tan ∠ABC =．3【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，折痕为MN．若tan ∠AEN =1，DC＋CE＝10．3⑴求△ANE 的面积；⑵求sin ∠ENB 的值．图2-3【例4】如图2-4，已知正方形ABCD 的边长为，对角线AC、BD 交于点O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF ⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为。

图2-4【例5】（2011•武汉）如图2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB，垂足为点C，交⊙O 于点B，延长BO 与⊙O 交于点D，与PA 的延长线交于点E．⑴求证：PB 为⊙O 的切线；⑵若tan∠ABE=，求sin∠E．图2-5【例6】如图2-6，正方形ABCD 中，点P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE,过C 作CF⊥DE 交DE 延长线于点F，若CF=2，则DF= ．图2-610（2002•盐城）已知：如图 2-7，在直角三角形 ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点 G 在 BE 上，连接 DG 并延长交 AE 于 F ，若∠FGE ＝45°． ⑴求证：BD •BC ＝BG •BE ； ⑵求证：AG ⊥BE ； ⑶若 E 为 AC 的中点，求 EF ：FD 的值．【例 7】（江苏省竞赛题）如图 2-8，等腰Rt △ABC 中， ∠C = 90︒ ， D 为 BC 中点，将△ABC 折叠，使A 点与 D 点重合，若 EF 为折痕，则sin ∠BED的值为．图 2-8【例 8】（全国初中数学联赛试题）如图 2-9，在正方形 ABCD 中，N 是 DC 的中点，M 是 AD 上异于 D 的 点，且∠NMB = ∠MBC ，则有tan ∠ABM 图 2-9= ．【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形 ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是 CD上一点，∠ABE ＝450，则tan ∠AEB 的值等于（ ）A ．3B ．2C ．5D ．32 2图 2-1019 【例 10】如图 2-11，在四边形 ABCD 中，∠ABC =90°，BC =2AD ，点 E 在对角线 AC 上，且 AE =AB ,连接BE ，tan ∠ABE =2． 若∠DAC =60°，CD = ，则线段 BE 的长为．图 2-11【例 11】（2010•上海）如图 2-12，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°．半径为 1 的圆 A 与边 AB 相交于点 D ，与边 AC 相交于点 E ，连接 DE 并延长，与线段 BC 的延长线交于点 P ． ⑴若 CE =2，BD =BC ，求∠BPD 的正切值；⑵若 tan ∠BPD =，设 CE =x ，△ABC 的周长为 y ，求 y 关于 x 的函数关系式．图 2-12【例 12】如图 2-13，在平面坐标系中，点 A (3，0),B (0，4),点 C 在 x 轴的负半轴上，且∠OAB =2∠BCO ，求点 C 的坐标．图 2-13【例 13】如图 2-14，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线交直线 BC 于点 E ，交直线 AB 与点 F ，若 AB =4，BE =3，则 BF 的长为 ．图 2-14【例14】如图2-15，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=20，若在BC、BD 上分别取一点M、N，使得MN+NC 的值最小，则这个最小值为．图2-15【例15】如图12-16，将矩形ABCD 沿BE 折叠，使得点C 落在点G 处，若DE=1，CE=2，BC=6，则AF 的长为．图2-16版块三12345 拓展若定义符号“2”表示正切值为 2 的锐角，其余类似，则⑴．"2"+"1"= 90︒ , "3"+"1"= 90︒；2 3⑵．"1"+"1"= 45︒ , "2"+ "3" = 135︒；2 3⑶．2= "1"+45︒ , "3" ="1"45︒；3 22 ⑷． "1"+ "1" = "4" , "1" + "1" = "3" ；2 23 3 3 4【例 16】（202 年泰州市中考题）如图 3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A 、 B 、C 、 D 都在这些小正方形的顶点上， AB 、 CD 相交于点 P ， 则 tan ∠APD 的值是 ．图 3-7【例 17】如图 3-8，二次函数 y = x 2 - 2x - 3 ，D （,0），在第四象限的抛物线上存在点 P ，使线段 AP 与直线 CD 的夹角为 45°，求点 P 的坐标．图 2-8【例 18】如图 3-20，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，边 CD 上有一个动点，将△ADE 沿 AE 翻折得△AEF ，连接 BD ，分别交 AE 、AF 于点 M ，O ，作∠BAF 的角平分线 AN 交 BD 于点 N ，若 BN = 3 , 则 OE = ．图 3-20【例 19】(盘锦 2015) 如图 3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +3 交 x 轴于 A （﹣，0）和 B （5，0）两点，交 y 轴于点 C ，点 D 是线段 OB 上一动点，连接 CD ，将线段 CD 绕点 D 顺时针旋转 90°得到线段 DE ，过点 E 作直线 l ⊥x 轴于 H ，过点 C 作 CF ⊥l 于 F ．⑴求抛物线解析式； y = - 3( x + 1)(x - 5)5⑵如图3-9⑵，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；⑶在⑵的条件下：①连接DF，求tan∠FDE 的值；②试探究在直线l 上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．版块四于特讲（解）题20.如图，在正方形ABCD 中，AB=6，点E 在边CD 上, DE=1DC ，连接AE，将△ADE 沿AE 翻折，点3D 落在点F 处，点O 是对角线BD 的中点，连接OF 并延长OF 交CD 于点G，连接BF，BG，则△BFG的周长是．DK =BG = 2 , DF =FG =DG , DF =FG = 4 ,DC CK DK 6 2DF =6 10, FG =2 10, BF =5 52FH = 2DF =12 5,52 101010 C= 12(+ 10 ) ． △BFG 5CG = 2, HG = 3 ,BG = 2 , BH = 3 , FH = 3 5 , FJ = 6 , FG = 2 10C = 12 ( + 10 )5 5 5△BFG 5我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲： 一、角的拓展“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？图（1）图（1）显然∠1 与∠2 两个角的正切值为 1/3,由"1" + "1" = "3",因此可得∠1＋∠2 正切值为 3/43 3 4从而可得∠BAF 正切值为 4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．图（2） 图（2）由"1" + "1" = "4"2 2 3，因此可得∠BAF （即顶角）一半的正切值为 1/2．从而可得∠ABF 的正切值为 2,由("2"+ "1"= 90︒ )，因此∠FBC 的正切值为 1/2 25 5 5要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．二、适度几何．既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？图（3）图（4）图（5）图（3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即M 是OD 的中点．MB=3MD图（4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG图（5）考虑AE 与DF 垂直关系，且∠DAE 的正切值为1/3．这样又可以得到一大片角的信息．∠FDG 的正切值为1/3，∠DGF 的正切值为3最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G 是边CD 的三等分点！图（6）如此一来，大家注意了没有：OG 与BG 相当于光反射．这是由于∠OGD 与∠BGC 的正切值均为3．10 图（6）镜面为 CD ,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到 GB ＝GP ，这一点非常关键．因此要求△BFG 的周长，就只要求 BF ＋FP 的长．由此简化了原问题．三、“2316 模型”其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316 模型” 我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316 模型” 所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型 1．231；模型 2．236大家有没有注意，∠B ＋∠C ＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．对于“231 模型”，仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三角形三边长之间的关系．而这并不是一件困难的事情．即三边之比为5 : 5 : ，当然可以进一步约分．所谓的“236 模型”是指这个图形．这里就不展开了．四、发起总攻！图（7）请大家看这个图形，△FBP 就是标准的“231 模型”．图（7）这是由于∠FBP 的正切值为1/2，∠FPB 的正切值为1/3．下面发起总攻！BP＝12，占5 份，一份是多少？当然是12/5．在这种情况下，BF＋FP 是多少份？当然是“根10＋根5”份了，那么BF＋FP 是多少呢？当然也就是△BFG 周长＝BF＋FP＝12(5+ 5) ！21.已知一次函数的图像经过A(-2，-1)、B(1，3)两点，并且交x 轴于点C，交y 轴于点D,求一次函数解析式，求tan∠OCD 的值,求∠AOB 的度数．22.已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，点D 是腰CA 上一动点，过点C 作CE 垂直BD 的延长线，垂足为E，(1)如图（1），若BD 是AC 的中线，求的值BD；(2)如图（2）若AD =1AC ,求BD的CE n CE 值．23（2016•常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx - 7 与y 轴交于点C，与x 轴交于点B，抛物线y =ax2 +bx + 14a 经过B、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2：7．（1）求抛物线的解析式；y =-1x2 +9x - 72 2（2）点D 为线段CB 上一点，点P 在对称轴的右侧抛物线上，PD＝PB，当tan ∠PDB＝2 ，求P 点的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q（7，m）在第四象限内，点R 在对称轴的右侧抛物线上，若以点P、D、Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R 的坐标．1024．（2015•南通）已知抛物线y =x2 - 2mx +m2 +m -1 m 是常数）的顶点为P，直线l：y＝x−1⑴求证：点P 在直线l 上；⑵当m＝−3 时，抛物线与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，与直线l 的另一个交点为Q，M 是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M 的坐标；⑶若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m 的值．25．(2016 新疆建设兵团第23 题)如图，抛物线y =ax2 +bx - 3(a ≠ 0) 的顶点为E，该抛物线与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y =-1x + 1 与y 轴交于点D．3⑴求抛物线解析式；⑵证明△DBO≌△EBC；⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由．刷子（吴小平）分享：如图所示，作边长为3、4、5 的直角三角形的内心O，过点O 作三边的垂线，则有:tan ∠OAD =1, tan ∠OBD =1,而∠OAD +∠OBD = 45︒；3 2tan ∠AOD = 3, tan ∠BOD = 2 ,而∠AOD +∠BOD = 135︒；tan ∠OAD = tan ∠OAE =1,而tan ∠BAC =3’3 4tan ∠OBD = tan ∠OBF =1,而tan ∠ABC =4．2 31.如图⑴，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=BA，D 是AC 上一点，CE 垂直BD，AF⊥BD．⑴当CE=2BE，则DE:CE 的值为；⑵如图⑵，过CD 的中点作MN⊥AC 分别交BC、CE 于点N、O，若MO=NO=2，则△ABC 的面积为．2.如图，AB=AC,M为BC的中点，AM=BC，∠ABD=45°，∠DCB=90°，若AD=2015，那么BC的长为．53. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点 C 在第一象限，∠ABC =135°，AC 交 y 轴于点 D ，CD =3AD ,反比例函数 y= k的图像经过点 C ，则 k 的值为．x4. 如图，正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC 、BD 交于点 O ，Q 是 BC 延长线上一点,AQ 交 BD 于点 E ，交 CD 点 P ，OQ 交 CD 点 E ，若 EF ∥AC ，则 OF 的长为 ．5. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（5,3）， M 的半径为 ，一束光线从点 A （0,2）出发，经过 x 轴上点 P 反射后，恰好与 M 相切，则点 P 的坐标为 ．6. 如图，抛物线 y = -x 2 + 7 x + 2 与直线 y = 1x + 2 交于 C 、D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 P 是 y 轴右侧2 2抛物线上一动点，过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交 CD 于点 F ,若存在点 P ，使得∠PCF =45°，则点 P 的坐标为 ．57. 如图，直线 y = 1x - 2与x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ，抛物线 y = x 2 + bx + c 过 A 、B 两点，点 C 是2抛物线上一点 ，满足∠ABC =45°，则点 C 的坐标为．8. 如图，在△ABC 中，BC =30，CA =40，AB =50，D 、E 是△ABC 内两点，满足 AD 平分∠CAB ，BE 平分∠CBA ，DE ∥AB ，且 DE =10，则△CDE 的面积为9. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，点 D 在 BC 上，连接 AD ，若∠CAD =∠B ， tan ∠DAB = 3， BD = 2 ,4则线段 AC 的长为 ．10. 如图，抛物线 y = -x 2 + 4x + 5 与 x 轴交于 A 、B 两点，直线 y = - 3x + 3 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于4点 D ，点 P 是第一象限的抛物线上一动点，过点 P 作 PF ⊥x 轴于点 F ，交直线 CD 与点 E ,设点 P 的横坐标为 m ，若点 E ' 是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P 使点 E ' 落点落在 y 轴上？若存在，请求出相应的点 P 坐标；若不存在，请说明理由．上海彭亚(81228570) 22:08:04我的学习浅见:12345 法，来源于45 度角的思考，于是，矩形大法出现了，构造出Rt 三角形，运用正切值，归纳出许多有趣且美的结论。