习题7.1
1.设总体X服从指数分布
试求的极大似然估计.若某电子元件的使用寿命服从该指数分布,现随机抽取18个电子元件,测得寿命数据如下(单位:小时):
16, 19, 50, 68, 100, 130, 140, 270, 280, 340, 410, 450, 520, 620, 190, 210, 800, 1100.
求的估计值.
解:
似然函数为
令
得
2.设总体X的概率密度为
其他
试求(1)的矩估计的极大似然估计
解:
(1)
的矩估计
(2)
似然函数为
令
解得
3.设总体X服从参数为的泊松分布试求的矩估计和极大似然估计(可参考例7-8)
解:由服从参数为的泊松分布
由矩法,应有
似然函数为
解得的极大似然估计为
习题7.2
1.证明样本均值是总体均值的相合估计
证:
由定理知是的相合估计
2.证明样本的k阶矩是总体阶矩的相合估计量
证:
是的相合估计
3.设总体为其样品试证下述三个估计量
(1)
(2)
(3)
都是的无偏估计,并求出每一估计量的方差,问哪个方差最小?
证:
都是的无偏估计
故的方差最小.
4.设总体其中是未知参数又为取自该总体的样品为样品均值
(1)证明是参数的无偏估计和相合估计
(2)求的极大似然估计
(1)证:
是参数的无偏估计
又
是参数的相合估计
(2)故其分布密度为
其他
似然函数
其他
因对所有有
习题7.3
1.土木结构实验室对一批建筑材料进行抗断强度试验.已知这批材料的抗断强度.现从中
抽取容量为6的样本测得样本观测值并算的求的置信度的置信区间
解:
置信度为的置信区间是
2.设轮胎的寿命X服从正态分布,为估计某种轮胎的平均寿命,随机地抽取12只轮胎试用,测得它们的
寿命(单位:万千米)如下:
4.68 4.85 4.32 4.85 4.61
5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.7
试求平均寿命的的置信区间(例7-21,未知时的置信区间)
解:查分布表知
平均寿命的的置信区间为
3.两台车床生产同一种型号的滚珠,已知两车床生产的滚珠直径X,Y分别服从
其中未知现由甲,乙两车床的产品中分别抽出25个和15个,测得
求两总体方差比的置信度0.90的置信区间.
解:此处
的置信度0.90的置信区间为:
4.某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机抽取9个,测得直径(单位:毫米)如下:
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
设滚珠直径服从正态分布,若
(1)已知滚珠直径的标准差毫米;
(2)未知标准差
求直径均值的置信度的置信区间
解: (1)
直径均值的置信度的置信区间为
(2)
置信度的置信区间为
5.设灯泡厂生产的一大批灯泡的寿命X服从正态分布其中未知令随机地抽取16个灯
泡进行寿命试验,测得寿命数据如下(单位:小时):
1502 1480 1485 1511 1514 1527 1603 1480 1532 1508 1490 1470 1520 1505 1485 1540
求该批灯泡平均寿命的置信度的置信区间
解:
置信度的置信区间为
6.求上题灯泡寿命方差的置信度的置信区间
解:查表知
置信度的置信区间为
7.某厂生产一批金属材料,其抗弯强度服从正态分布.现从这批金属材料中随机抽取11个试件,测得它
们的抗弯强度为(单位:公斤):
42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7
求(1)平均抗弯强度的置信度的置信区间(2)抗弯强度标准差的置信度
的置信区间
解: (1)查表知
置信度的置信区间为
(2)查表知
置信度的置信区间为
故的置信度的置信区间为
8.设两个正态总体中分别取容量为10和12的样本,两样本互相独立.经算得
又两样本的样本标准差求的置信度的置信区间解:
查表知
故的置信度的置信区间为
9.为了估计磷肥对农作物增产的作用,现选20块条件大致相同的土地.10块不施磷肥,另外10块施磷
肥,得亩产量(单位:公斤)如下:
不施磷肥的
560 590 560 570 580 570 600 550 570 550
施磷肥的
620 570 650 600 630 580 570 600 600 580
设不施磷肥亩产和施磷肥亩产均服从正态分布,其方差相同.试对施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差作区间估计().
解:
查表知
10.有两位化验员A,B独立地对某种聚合的含氮量用同样的方法分别进行10次和11次测定,测定的方
差分别为.设A,B两位化验员测定值服从正态分布,其总体方差分别为.求方差比的置信度0.9的置信区间.
解:
查表知
故的置信度0.9的置信区间为:
自测题7
一、填空题
设总体是来自的样本则当常数时是未知参数的无偏估计.
解:是未知参数的无偏估计
则
二、一台自动车床加工零件长度X(单位:厘米)服从正态分布.从该车床加工的零件中随机抽取
4个,测得长度分别为:12.6,13.4,12.8,13.2.
试求: (1)样本方差;(2)总体方差的置信度为95%的置信区间.
(附:
解: (1)
(2)置信度的置信区间为
三、设总体抽取样本为样本均值
(1)已知求的置信度为的置信区间
(2)已知问要使的置信度为的置信区间长度不超过,样本容量n至少应取多
大?(附)
解: (1)的置信度为的置信区间为
(2)的置信度为的置信区间为
故区间长度为
解得
四、某大学从来自A,B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生,测其身高(单位:厘米)后,算的
.假设两市新生身高分别服从正态分布: , 其中未知试求的置信度为0.95的置信区间.(附:
解:。