反比例函数基本知识点题型梳理
知识点1 反比例函数的定义
一般地，形如x
k
y =（k 为常数，0k ≠）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x 是自变量，y 是x 的反比例函数；
⑵自变量x 的取值范围是0x ≠的一切实数，函数值的取值范围是0y ≠； ⑶比例系数0k ≠是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式：
①x
k
y =
（0k ≠）； ②1
kx y -=（0k ≠）； ③k y x =⋅（定值）（0k ≠）； ⑸函数x
k
y =
（0k ≠）与y k x =（0k ≠）是等价的，所以当y 是x 的反比例函数时，x
也是y 的反比例函数。

注：（k 为常数，0k ≠）是反比例函数的一部分，当k=0时，x
k
y =，就不是反比例函数了，由于反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

（6）“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数，但是反
比例函数
x k
y =
中的两个变量必成反比例关系。

知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定反比例函数的表达式。

知识点3反比例函数的图像及画法
反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

注意：①列表时选取的数值宜对称选取；
②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；
③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；
④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：
反比例函数
x
k
y =
（0k ≠） k 的
符号
0k > 0k <
图像
性质
①x 的取值范围是0x ≠，y 的取值范围是
0y ≠
②当0k >时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①
x 的取值范围是
0x ≠，y 的取值范围是
0y ≠
②当0k
<时，
函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k >时，y 随x 的增大而减小“，就会与事实不符的矛盾。

☆反比例函数x
k
y =
（0k ≠）中比例系数k 的绝对值k 的几何意义： 如图所示，过双曲线上任一点P （x ，y ）分别作x 轴、y 轴的垂线，E 、F 分别为垂足， 则OEPF S PE PF y x xy 矩形=⋅=⋅==k
☆ 反比例函数x k y =（0k ≠）中，k 越大，双曲线x
k
y =越远离坐标原点；k 越小，双曲线x
k
y =
越靠近坐标原点。

☆ 双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直
线y=x 和直线y=－x 。

经典例题透析
类型一 反比例函数的概念
1．判断下列各式是否表示y 是x 的反比例函数，若是，指出比例系数k 的值；若不是，指出是什么函数.
（1）8;y x =-
（2）1;
9xy = （3）43;y x =- （4）1
;7y x =- （5）2=x y ； （6） x y 76-=； （7）x
k y =（k 为常数，k 0≠）
2. 根据题意列出函数关系式，并判断是什么函数. （1）面积为常数m 的长方形的长y 与宽x 之间的关系；
（2）一本500页的书，每天看15页，x 天后尚未看完的页数y 与天数x 之间的关系.
专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系
【专题解读】 反比例函数k
y x
=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：
（1）0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而减小. （2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而增大.
3. 函数y ax a =-+与(0)a
y a x
-=
≠在同一坐标系中的图象可能是（ ）
专题3 反函数的图象
【专题解读】 如左下图所示，若点A （x ，y ）为反比例函数k
y x
=
图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x 轴于B ，作AC ⊥y 轴于C ，则S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1
||2
k .
4. 如右上图所示，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P 作x 轴的垂线交双曲线1
y x
=于点Q ，连接OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积（ ）
A ．逐渐增大
B ．逐渐减小
C ．保持不变
D ．无法确定
5．在反比例函数
x y 1
-
=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。

若
3
210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．
213y y y >> B ．
1
23y y y >> C ．
3
21y y y >> D ．
2
31y y y >>
6. 如果函数
2
22
-+=k k
kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么k 的值是多
少？
7．如果一次函数
()的图像与反比例函数x m
n y m n mx y -=
≠+=30相交于点
（221
，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）
8. 已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数6
y x
=的图象相交于A ，B 两点，点A 的横坐标是3，点B 的纵坐标是-3.
（1）求一次函数的表达式；
（2）当一次函数值小于0时，求x 的取值范围.
9. 已知反比例函数k
y x
=
的图象经过点A （-2，3）. （1）求这个反比例函数的表达式；
（2）经过点A 的正比例函数y k x '=的图象与反比例函数k
y x
=的图象还有其他交点吗？若有，求出交点坐标；若没有，说明理由.
10．如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线x m
y =
在第一象限的交
点，且
2
=∆AOB S ，则m 的值是_____.
11.如右上图所示，在反比例函数2
(0)y x x
=
>的图象上有点1234,,,P P P P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1234,,,S S S S ，则123S S S ++= ________ .
求n S S ++++......S S 321的值（用含n 的代数式来表示）_________________
中考真题精选:
1.（江苏扬州）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（ ）
A. （-3,2）
B. （3,2）
C.（2，3）
D.（6,1） 2.（重庆江津区）已知如图，A 是反比例函数k
y x
=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABC 的面积是3，则k 的值是（ ）
A 、3
B 、﹣3
C 、6
D 、﹣6
3.（吉林）反比例函数的图象如图所示，则k 的值可能是（ ）
A 、﹣1
B 、
C 、1
D 、2
4. （辽宁阜新）反比例函数6y x =
与3
y x
=在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为（ ）
A.
3
2
B.2
C.3
D.1
5.（玉林）如图是反比例函数y=
x k 1和y=x
k
2（k 1＜k 2）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若S △AOB =2，则k 2﹣k 1的值是（ ）
A 、1
B 、2
C 、4
D 、8。