第三章1如图所示一三角形钢板，两个结点固定，对第三个结点施以单位水平位移，测出所施加的力，从而得出相应的刚度系数。

其他点依此类推，这样测得的刚度系数所组成的刚度矩阵，是否与按照常规三角形单元刚度矩阵计算公式所得结果一样？用这样实测所得的刚度矩阵能否进行有限元分析？为什么？解：不一样。

单元刚度矩阵中每个元素的物理意义：ij k 表示单元第j 个自由度产生单位位移，其它自由度固定时，第i 个自由度产生的节点力。

单元刚度矩阵是在单元处于平衡状态的前提下得出的，单元作为分离体看待，作用在它上面的外力（单元力）必是平衡力系，然而研究单元平衡时没有引入约束承受平衡力系作用的无约束单元，其变形是确定，但位移是不能确定的，即单元可发生任意的刚体位移。

不能。

因为与有限元中单元与单元之间的约束情况不一样，不能进行有限元分析。

2以位移为基本未知量的有限元法其解具有下限性质，试证明之。

解：系统总位能的离散形式{}{}{}{}12T Tp a K a a P ∏=- 将求解的方程[]{}{}K a P =带入可得{}[]{}{}[]{}{}[]{}1122T T Tp a K a a K a a K a U ∏=-=-=- 在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。

在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总与精确解有差别的。

设近似解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、{}{}K a P ⎡⎤=⎣⎦，真实解为p ∏、U 、[]K 、{}a 、[]{}{}K a P = 且根据最小势能原理，得到的系统的总位能总会比真正的总位能要大，故p p ∏≥∏则U U ≤{}{}{}[]{}{}{}{}{}TT TTa K a a K a a P a P ⎡⎤≤⇒≤⎣⎦则近似解的位移总体上小于精确解的位移解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度，在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，引入了更多的约束和限制，使得单元刚度较实际连续体加强了，连续体的整体刚度随之增加，所以有限元解整体上较真实解偏小。

3 请分别阐述单元刚度矩阵和整体刚度矩阵中任一元素的物理意义。

解：在单刚[]eK 中，eij k 表示单元第j 个位移产生一单位位移，其它位移为零时，第i 个位移方向上引起的节点力。

在整体刚度中，ij K 表示第j 个自由度产生一单位位移，其它自由度为零时，第i 个自由度上引起的节点力。

4 简述虚功原理，且使用虚功原理导出外荷载与节点荷载的等效关系式。

解:虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。

设{}eq 为外荷载（此处为体力），{}ep 为节点荷载，{}ew 为单元内位移场，{}eδ为结点位移场 根据虚功原理{}{}{}{}{}{}TTe ee eVp w q dV δ=⎰由于{}{}[]e ew N δ=故{}{}{}{}{}{}{}{}{}[][]TTTe ee ee eTTVVVw q dV N q dV N q dV δδ==⎰⎰⎰则{}{}{}{}{}{}{}{}[][]TTe ee eeeT T VVp N q dV p N q dV δδ=⇒=⎰⎰5 试述弹性力学中按位移求解与有限单元法中按位移求解之间的异同点。

解：6 如果三节点三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，其转角为，证明单元内所有的应力均为零。

解：在三角形单元中{}[][]{}D B σδ=[]0000001100000022ij m j m m ii ji j m j m m i i j i ijjmm j m j mm im ii ji j b b b y y y y y y B c c c x x x x x x AAc b c b c b x x y y x x y y x x y y ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎢⎥==-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+--+--+-⎣⎦⎣⎦ 由于三角形单元绕其中某一个节点作小的刚体转动，各节点的位移可表示为：00u u yv v x θθ=-⎧⎨=+⎩则可知节点位移向量{}{}0,0,,,,TTj j m my x y x δθθθθ=--故应变{}[]{}000000110000220i m m i i j j j m m i i j j j m i mm im ii ji j mm y y y y y y y B x x x x x x x AA x x y y x x y y x x y y y x θεδθθθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤---⎧⎫⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪==-+-+-+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-+--+--+-⎩⎭⎣⎦⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩⎭由于弹性矩阵[]D 为常量矩阵，应变向量{}ε为零向量，故{}[]{}D σε=为零向量，即单元内所有的应力为零。

7 二维单元在,x y 坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面内旋转时又怎样？试证明之。

解：二维单元在,x y 坐标内平面移到不同位置时，刚度矩阵相同。

在平面内旋转时，刚度矩阵也相同。

刚度矩阵[][][][]21122114(1)22r s r sr s r s T rs r s r s r s r s r s b b c c b c c b EhA k B D B hA c b b c c c b b μμμμμμμ--⎡⎤++⎢⎥==⎢⎥---⎢⎥++⎢⎥⎣⎦单元平移或旋转时，,i i b c 不变，故单元刚度矩阵不变。

8 判断有限元网格离散合理性a) 对图1(a)所示的有限元网格，评论网格的优劣性，指出模型中的错误，并加以改正。

b) 评论图1(b)的网格划分合理吗?为什么?请加以改正。

图1 解：（a ）网格划分不合理。

1）无过渡单元 2）无边界条件3）夹角区应力集中，应适当加密风格 4）对称结构网格应对称划分 （b ）不合理。

1）左部网格应适当加密2）由于三角形单元会造成局部精度不够，过渡区可采用其它单元划分 3）右部单元的长宽比较大，就进行适当调整。

9 如图2所示，平面三角形构件以x-y 坐标系表示的刚度矩阵方程如下：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------2211221145.25.25.25.25.25.25.45.25.20.55.283.15.283.15.21010y x y x y x y x P P P P v u v u试建立以1x u ,1y u ,,2x u (与图中,2x P 同向的位移)及1x P ,1y P ,'2x P来表示的刚度矩阵方程。

解：用坐标变换{}[]{}'T δδ=则[]111111''222''222cos sin x x x y y y x x x y x x u u u v v v T u u u v u u αα⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中[]100001000cos 000sin 0T αα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由[]{}{}[][]{}{}'K P K T P δδ=⇒=[][]100010 2.5 1.83 2.510 2.5 2.964001001.83 2.5 5.0 2.5 1.83 2.5 2.5040002.5 4.5 2.5 2.5 2.5 4.50.5052.5 2.5 2.5 2.53 2.5 2.50.50005K T ⎡⎤⎢⎥--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦11411''2210 2.5 2.96410 1.83 2.5 2.5020x x y y x x u P v P u P -⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭10 某平面结构采用四节点矩形单元和三节点三角形单元建立有限元计算模型，其如图3所示。

试求结点2的等效荷载列阵{}2R 。

荷载作用于12-边上，故等效节点力只与12、号节点有关解：单元①，形函数12,(1)N N ξηηξ==-，在1η=边上，121,1N Nξξ∂∂==-∂∂ 12120,0N N N N x y l l m m ξξξξξξ∂∂∂∂∂∂=+==+=∂∂∂∂∂∂则ds ld ξξ== 线性分布面力{}0q q ξ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭则121103y y lqlP N q ds qld ξξ===⎰⎰图5形函数1231,,0s s N N N l l =-== 在1-2边上，{}0s q s q l ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭单元③，{}{}010000[]01000120000233TTS S l l Tss l l F N q ds ds s s sq l l l ql ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰故节点2的等效荷载列阵{}2023R ql ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭11 试求如图4所示的有限元网格的整体刚度矩阵，假设每个节点的自由度数为1，且设eK 表示第e 个单元的单元 刚度矩阵（注意：结果应该用eij k 表示）。

解：单元刚度矩阵{}(1)(1)(1)(1)11121415(1)(1)(1)(1)(1)21222425(1)(1)(1)(1)41424445(1)(1)(1)(1)51525455k k k k k k k k K k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，{}(2)(2)(2)(2)22232625(2)(2)(2)(2)(2)32333635(2)(2)(2)(2)52636665(2)(2)(2)(2)62535655k k k k k k k k K k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}(3)(3)(3)555758(3)(3)(3)(3)757778(3)(3)(3)858788k k k K k k k k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，{}(4)(4)(4)555658(4)(4)(4)(4)656668(4)(4)(4)858688k k k K k k k k k k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦整体刚度矩阵：[](1)(1)(1)(1)11121415(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)2122222324252526(2)(2)(2)(2)32333536(1)(1)(1)(1)41424445(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(3)(4)(515252535455555555560000000000000k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k K k k k k k k k k k k ++=++++2)(4)(3)(3)(4)56575858(2)(2)(2)(4)(2)(4)(4)62636565666668(3)(3)(3)757778(3)(4)(4)(3)(3)(4)858586878888000000000k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦12 图5中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元①按局部编码,,i j m 的单元刚度矩阵K ①和应力矩阵S ①是(1)806626166126413.597.5313.53 1.59.535.5K ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--= ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭对称(1)00303004030120 1.5-1.5-0.5 1.5S ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭－－－按图5示单元②的局部编码写出K ②，S ②。