其中
解答：
已知
（式4.1）
（式4.2）
因为{x(n)}为实序列，所以由式4.1可得
当m>0时
其中k=m+n
当m<0时
其中l=-m
故
结合式4.2，利用褶积定理可得
5设有零均值平稳序列 ，将其分为K段，每段有 点数据，各段的周期图为 。平均周期图为 。试证明：如果当 时 很小，因而各周期图可认为是彼此独立的，则 。其中 ，这一结果说明了什么？
图4－10 习题15用图
解：由题条件： 是一平稳白噪声， ， ，
经过线性非移变系统得到的输出 也是一个广义平稳信号。
17、设有二阶自回归模型 ，X(n)是方差为 的白噪声，并且 。
（1）证明Y(n)的功率谱密度为
。
（2）求Y(n)的自相关函数。
（3）写出Yule-Walker方程。
解：（1）
由欧拉公式知
求解即可
9设N=5的数据记录为 ，AR模型的阶数p=3，试用莱文森递推法求AR模型参量及 的预测值 。
解：
利用已知数据求得：
一阶时：
二阶时：
三阶时：
故 AR模型得参数为：
因为
故
10利用题9所给N=5的数据记录 ，试用伯格算法求 参数。
解：（1）
前、后向预测误差分别为
（2）
（3）
（4）
模型为：
11推出随机初相（在0至 区间上均匀分布）的复（实）正弦加白噪声的自相关序列值公式。
得证。
（2）
（3）写出Yule-Walker方程：
18、设零均值平稳高斯过程的谱密度为 ，求出此过程的自相关函数。解：
习题五
1.证明白噪声的周期图功率谱估计是无偏的。
证明：
得证。
2. 求一稳定系统，使其在单位谱密度白噪声激励下的输出自相关函数为
解： 由题目知：
利用AR模型的尤拉-沃克方程：
将自相关值代入：
得证最小二乘估计{ }满足尤利--沃克方程类似。
7试证明后向预测滤波误差 的正交性。
证明： 当k=1,2,……p时，误差：
则： 要使均方误差最小，则令
即k=1,2,……p时， 与观测数据正交。
当k=0时，
故k=0,1,2,……p时， 均与观测数据正交。
8 题目见书， 题解：尤利-沃克方程：
可得：
则有
习 题 二
1、求证： 。
证明：
2、令 和 不是相关的随机信号，试证：若 ，则 和 。
证明：(1)
(2)
即
3、试证明平稳随机信号自相关函数的极限性质，即证明：
①当 时， ；
②当 时, 。
证明：（1）
（2）
4、设随机信号 ， 为正常数，A、B为相互独立的随机变量，且 , .试讨论 的平稳性。
解：（1）均值为
解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得
则一阶概率密度函数
对于二阶概率密度函数
其中 为x的协方差矩阵， 为均值
13、令 表示白噪声序列， 表示一个与 不相关的序列， ， 。试证明序列 是白色的，即 ，式中A是常数。
证明：由已知得
为一与 不相关的序列 为一常数
令
即得证。
14、设随机信号 ，其中 是一个平稳信号，y是一个与 无关的随机变量。试讨论 的遍历性。
证明：
其中
说明功率谱估计的均值是真实功率谱与三角窗的卷积。
6对于确定信号 ，也可以使用线性预测，N阶线性预测定义为 ，预测误差能量为 。试证明：若 ，则最小二乘估计 满足尤利--沃克方程，但其中 ，且 。
证明： 为N阶前向线性预测。
已知预测误差为
预测均方误差为
时，对{ }的最小二乘估计有
即
又
与AR模型尤利--沃克方程类似
解：当开关S断开时，
此时，误差性能函数：
6.如图6-36所示，设开关S闭合，按上题要求再做一次。
解：当开关S闭合时， ，
7. 试证明：当只有两个权因子时， 表示一个椭圆。
当只有一个权因子时，上式表示什么类型的曲线？
①证明：R的特征矩阵为Q，由于只有两个权因子，则：
选用AR模型：
故得信号的模型：
（2）求出
选用AR模型：
故得信号的模型：
13、用AR(∞)表示MA(2)。
解：MA（2）的传递函数为
AR（ ）的传递函数为
令
比较同次幂系数得到
模型可表示为：
其中
14、设AR(2)模型为 。
（1）求x(n)的功率谱
。
（2）求x(n)的自相关函数。
（3）写出相应的Yule-Walker方程。
（2）自相关函数为
相互独立
故： 与起始时间无关
（3）
可见，该信号均值为一常数，自相关函数与起始时间无关，方差有限，故其为一个广义平稳的随机信号。
5、设随机信号 ，A、B是两个相互独立的随机变量，且 。求 的均值、方差、相关函数和协方差函数。
解：（1）
（2）
（3）
6、若两个随机信号 ， 分别为 ， ，其中 , 是各自平稳、零均值相互独立的随机信号，且具有相同的自相关函数。试证明 是广义平稳的。
；
将 通过一个传递函数为 的滤波器滤波，滤波后的输出为 ，证明输出功率为
式中
证明：①已知 是均匀分布的随机相位，且相互独立，则
而
利用正交性：
②
根据①的结论，且 与 相互独立
③
令
则
2.设信号 的功率谱为 ，噪声的功率谱为 ，信号与噪声互不相关，求因果连续维纳滤波器的传递函数。
解：已知信号与噪声互不相关，则
题目中MA（T）传递函数为
AR（ ）传递函数为
令 ，
即
模型为
P阶AR模型与p阶线形预测器等价，取p=10，则10阶线形预测为
其增益：
习题6
1.设噪声中存在L个具有随机相位的复正弦信号如下：
式中 ，L为均匀分布的随机相位，它们是互相独立的； 为零均值与方差的白噪声，且与 互相独立。
证明 ；
证明 的自相关函数
图4－7 习题3用图
（1）该时域离散随机过程的自协方差序列是什么？
（2）对于上述的模拟功率谱，应如何选择T才会使时域离散过程为白色的？
（3）如果模拟功率谱如图4－7(b)所示，应该如何选择T才会使时域离散过程为白色的？
（4）欲使时域离散过程为白色，应对模拟过程和采样周期提出哪些一般要求？
解：（1）该时域离散随机过程的自协方差序列是抽样序列。
解：（1）由AR（2）模型可得系统函数为：
而
即 ：
又：
（2）AR（2）模型的自相关函数为：
取m＝0,1,2
得方程组：
（3）其Yule-walker方程：
15、计算二阶MA(2)模型 的自相关函数及功率谱密度。
解：①由Yule-Walker方程知
②
16、如图4－10所示，x(n)为 的白噪声， ， ，∣a∣<1,∣b∣<1,求 。
；
（2）因为
2、令x(n)是白色随机序列，其均值为零，方差为 。设有一个级联系统，由两个线性非移变时域离散系统按图4－6的形式构成，x(n)是它的输入。
（1） 是否正确？
（2） 是否正确？
（3）令 和 。试确定图4－6的整个系统的单位取样响应，并由此求出 。如果你认为问题（2）是正确的，那么它与问题（3）的答案是否一致？
图4－6 习题2用图
解：（1）正确
为白噪声， 互不相关，即
为因果序列时，
（2）不正确
由（1）中推导知，由于 不是白色序列，所以它不满足
不成立
（3）
对上式两边作Z变换得
若按（2）来计算，则
与上面计算结果不符，故结论（2）不正确。
3、考虑一个时域连续的随机过程{ }，它有如图4－7(a)所示的限带功率谱。假设对{x(t)}采样，得到了一个时域离散的随机过程{ }。
证明：
均值为零、自相关函数与时间t无关、方差有限，故其是广义平稳的
7、设随机信号 ，式中A、 为统计独立的随机变量， 在[0， ]上均匀分布。试讨论 的遍历性。
解：（1）首先讨论 的平稳性
与t无关
故 是平稳随机信号
（2）遍历性
故 不具有广义遍历性
8、随机序列 ， 在[0， ]上均匀分布， 是否是广义平稳的？
解：
比较式中等号两边的同次幂系数，得：
11、设ARMA(n,m)模型的格林函数为 ，且已知 ，u(n)为
（1）计算 ；
（2）求出相应的ARMA模型及其参数。
解：（1）
（2） 又
即
该ARMA（1，1）模型为：
12、设平稳随机信号 ，具有下列自相关函数
（1）
（2）
试求产生此随机信号的模型。
解：（1）求出
故
解法2：
因 与 不相关，则
同理
故
6、某系统的传递函数 。若输入平稳随机信号的自相关函数为 ，输出记为Y(t)，试求互相关函数 。
解：
7、某系统的传递函数 。若输入平稳随机信号的自相关函数为 ，输入记为Y(t)，试求互相关函数 。
解：
8、两个串联系统如图4－9所示。输入X(t)是广义平稳随机信号，第一个系统的输出为W(t)，第二个系统的输出为Y(t)，试求W(t)和Y(t)的互相关函数 。
则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足（d）；②不满足（a）；③ 不满足（c）；④不满足（b）；⑥不满足（a）。
11、设 ， 是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为 ， ，新的随机信号 。求：① 的功率谱；② 和 的互谱密度。
解：由已知得 ， ， 独立且平稳 平稳
12、已知平稳高斯信号 的自相关函数为 。求 的一阶概率密度函数 及二阶概率密度函数 ，其中 ， 。