10.讨论一个输入、输出关系由下面线形常系数差分方程联系的因果系统11()(1)()(1)22y n y n x n x n =−++−（a ） 求该系统的单位取样响应（b ） 用（a ）中所得结果及卷积和，求对输入()j n x n e ω=的响应 （c ） 求系统的频率响应（d ） 求系统对输入()cos 24x n n ππ⎛=+⎜⎝⎠⎞⎟的响应解：111122)()111122z z a H Z z z −−+==−+−−因为是因果系统，111()[()]()02n h n ZX z n n δ−−==−+≥(1)1)()()()()21212j nn j n nj nj b y n x n h n n eeeeωωωωδ+⎛⎞ =∗=∗−+⎜⎟⎝⎠− =−+−根据1112121212n n n n a a a a a a a a ++−∗= ≠−c)()12()()12()j j j z ej j eH eH z eH ee ωωωωωϕω=+==− =其中(j H e )ω为幅频特性，表示系统对某一频率的幅度响应，()ϕω为相频特性，表示系统对某一频率的相位延迟)sin sin arctan()-arctan()cos 1/2cos 1/2d ωωϕωωω ()=+−题中2πω=，则()1()2arctan 2j H e ωϕω= =所以()cos(2arctan 2)24y n n ππ=++课后答案网 w .k hd aw .c om课后答案网12.试求如下各序列的傅里叶变换 （a ）()()3x n n δ=− (b) ()()()11()1122x n n n n δδδ=+++−（c ） ()()0<a<1n x n a u n = （d ） ()(3)(4x n u n u n =+−−)解:334()()1))cos 1))j j nn j j j j j X e x n e a e b c ae e e d e ωωωωωωωω∞−=−∞−−=+1−−1−∑ 13.令表示连续时间线性非时变滤波器的冲激响应，表示离散时间线性非时变滤波器的单位取样相应。

已知()a h t ()d h n t 0,a>0()0t at a ae h t −⎧ ≥=⎨ <0⎩（a ） 试求模拟滤波器的频率响应，并会出其振幅特性略图（b ） 若，试求数字滤波器的频率响应，并求能使数字滤波器的频率响应在()()d a h n ch nT =0ω=处为1的c 值。

画出(j d )H e ω的幅频特性略图。

解:()001/2221)()1()at j ta j tA A a H j eedt edt a j H j a ∞∞−−Ω−+Ω Ω===+Ω⎛⎞Ω=⎜⎟+Ω⎝⎠∫∫1/220)()()0,0()()11()12cos anT d a j j n anT j n D d aT j n n j D aT aT ce n b h n ch nT n cH e h n e ce e e H e c e e ωωωωωω−∞∞−−−−−=−∞=−−⎧, ≥ ==⎨<⎩ ===−⎛⎞=⎜⎟−+⎝⎠∑∑课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网幅度特性1)()1j D aTc H e ce − =+可见要想使0()j D H e为1，则有1aT c e −=+20．下列差分方程表示一线性非时变因果系统()(1)(2)(1y n y n y n x n =−+−+−)（a ） 求这个系统的系统函数()()()X z H z Y z =。

画出()H z 的零、极点分布图，并指出其收敛域。

（b ） 求这个系统的单位取样响应。

（c ） 读者会发现它是一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的单位取样响应。

解:12111212)()()()()()(1a Y z z Y z z Y z z X z Y z z z z X z z z z z )αα−−−−−− =++ ()Η()=== ()−−−− 则零点为，极点为0z=12(1/2)[1 1.62(1/2)[10.62z z αα==+= ==−=−因为是因果系统，所以收敛域为1.62z >，如图所示()12212122)()()()11()[()]()n nzb H z z z z z z z h n Z H z u n ααααααα1−11 =−−⎛⎞=−⎜⎟α−−−⎝⎠==α−α−由于()H z 的收敛域不包括单位圆，所以这是个不稳定系统c)若要使系统稳定，则其收敛域应包括单位圆，则选()H z 的收敛域为0.62 1.62z <<则课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网()2121221()1()[()](1)()n nz z H z z z h n Z H z u n u n ααααα1−11⎛⎞=−⎜⎟α−−−⎝⎠==α−−−α−1zz α−对应于一个非因果序列23．见课本58P 上面几行描述，可得(a)----(3), (b)----(1), (c)----(2) 24．考虑一个因果线性非时变系统，它具有下列系统函数()11111a z H z az−−−−=− 式中a 是实数。

(a) 假如0，画出零、极点图，并用斜线画出收敛域。

1a <<(b) 在z 平面内，用通过几何法证明这个系统是一个全通系统。

解:11111)()1a z z a a H z z a az−−−−−− ==−− 零点极点，收敛域为1z a − =z a =z a >)1/1/j b H e a ω === ==见右图，根据余弦定理，有PZ QZ 所以PZ()QZ即频率响应的幅度为常数，所以是一个全通系统第三章 离散傅里叶变换（DFT ）2.表示一周期为的周期性序列,而表示它的离散傅立叶级数的系数,也是周期为的周期性序列.试根据确定离散傅立叶级数的系数. %()xn N ()X k N %()xn ()X k 课后答案网 w ww .k hw .c om答案网%%%11110001()01()0()()()()()()()(),N kn Nn N n N kr kn krNN k k n N k n r N n k N k n r Nk X k x n W X k X r X r X k W x n W W x n W N W −=−−−===Ν−1−+=0=−+==⎡⎤ ==⎢⎥⎣⎦= =∑∑∑∑∑∑∑解:据题意，有而的离散傅里叶级数的系数为因为 %%0,()()()n r lNX r N xr lN N x r +=⎧⎨ ⎩=−+=−其他所以N N5.表示一具有周期为的周期性序列, 具有周期为的周期性序列.令表示当看成是具有周期为的周期性序列离散傅立叶级数的系数.而表示当看成是具有周期为的周期性序列离散傅立叶级数的系数.当然为具有周期为的周期性序列, 为具有周期为2的周期性序列.试用确定%()x n N 2N 1()X k %()xn N2()X k %()x n 2N 1()X k N 2()X k N1()X k 2()X k 解:按照题意,有% %%%11021121/2/2220()()()()()()N kn N n N N N kn kn kn N N n n n NX k x n W X k x n W x n W x n W −=−−−======+∑∑∑∑令,则'nn N =− %%% ''11/2'()/2201/201()()()(1)()(1)2N N kn k n N NN n n N jk kn Nn jk X k x n W x n N W e x n W k eX ππ−−+==−−=−=++ =+⎛⎞ =+⎜⎟⎝⎠∑∑∑所以 122,()2k X k X k k ⎧⎛⎞⎪⎜⎟=⎝⎠⎨⎪ ⎩为偶数0，为奇数7. 求下列序列的DFT （a ）{ 1,1,-1,-1}（b ）{1,j,-1,-j}（c ）(n)01x cn n N = ≤≤−课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网（d ）2(n)sin01nx n NN π= ≤≤− 10()=DFT[()]=()N kn Nn X k x n x n W −=∑ a){}0,2-2j,0,2+2j b) {}0,4,0,0101(1)N-1n=1)()=DFT[()]=()=0,1 (1)(1)()=(1)()=,1,2, (11)(1)(0)2N knN n N k k n N N n kkn NkN N N kN c X k x n cnW W X k cnW k N W X k cW c N W cN cNX k k N W cN N X −=−+= =−−−− =−−− =∑∑∑=− 101(1)(1)01)()=()2j1()2j 2sin12j112sin(0)222cosN n n knN N Nn N k n k nN N n k k NN kk NN d X k W W W W W kW W N k =1,2,.....N -1W W NX Nπππ−−=−−+=− − =−− == , −−=−∑∑ 8.计算下列有限长序列的离散傅里叶变换（假设长度为N ）00)()())()())()1n a x n n b x n n n n N c x n a n N δδ = =− 0≤≤ = 0≤≤− 解:1)()=1)()=1)()=0,1, (110)kn N N N n knNk n Na X kb X k W ac X k a W k N aW −=− = =−−∑10. 计算下图两个有限长序列的6点圆周卷积课后答案网 w ww .k hd aw .c om课后答案网x2(-n)的圆周移位x1(n)与x2(n)的6点圆周卷积{5 6 1 2 3 4}11.有限长序列的离散傅里叶变换对应序列在单位圆的z变换的取样。

例如一个10点序列的离散傅里叶变换对应于单位圆上10个等间隔点的()X z的取样。

我们希望找到如下一个取样2100.5()kjNz eX zππ⎡⎛⎞⎛⎞+⎜⎟⎜⎟⎢⎝⎠⎝⎠⎣⎦=⎤⎥，证明如何修改()x n以获得一个序列1()x n致使它的离散傅里叶变换对应于所希望的()X z的取样。

解:[(2/10)/10]9[(2/10)/10]0.59/1010()()[0.5]()0.5j kj kz enn jn knnX z x n ex n e Wπππππ++−==−−===∑∑n可见, 当时, 其离散富立叶变换相当于如图所示的/101()()0.5n jnx n x n eπ−−=()X z的采样．13.列长为8的一个有限长序列具有8点离散傅里叶变换()X k。