昌平区—第二学期初三年级第一次统一练习数学 试 卷 2009．5下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．3-的相反数是 A ．13-B ．13C ．3-D ．32．今年两会期间，新华网、人民网、央视网等各大网站都推出了“向总理提问”的网上互动话题，上百万网民给总理提出了内容广泛的问题．在新华网推出的“总理，请听我说”栏目中，网民所提出的问题就达200 000多条. 将200 000用科学记数法表示应为A ．60.210⨯B ．42010⨯C ．4210⨯D ．5210⨯3．如图，在Rt ABC ∆中, 90C ∠=︒，D 是AC 上一点，直线DE ∥CB 交AB 于点E ，若30A ∠=︒，则AED ∠的度数为 A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒4．把代数式222a ab b -+分解因式，下列结果中正确的是 A ．()2a b -B ．()2a b +C ．()()a b a b +-D ．22a b -5．在下列所表示的不等式的解集中，不包括．．．5-的是A ．4x ≤-B ．5x ≥-C ．6x ≤-D ．7x ≥-6．某校初三学生为备战5月份中考体育测试，分小组进行训练. 其中一个小组7名同学的一次训练的成绩（单位：分）为：18，27，30，27，24，28，25. 这组数据的众数和中位数分别是A ．27，30B ．27，25C ．27，27D ．25，30 7．把点()1,2A 、()1,2B -、()1,2C -、()1,2D --分别写在四张卡片上，随机抽取一张，该点在函数2y x =-的图象上的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．348．将左图中的正方体纸盒沿所示的粗．线．剪开，其平面展开图的示意图为二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）纸 盒裁剪线A B C DDEC BABCADE9．在函数11y x=-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．若()2420x y -++=，则x y +的值为 ．11．如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ．12．一组按规律排列的式子：3579234,,,,x x x x y y y y--（0≠xy ）， 其中第6个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分） 13．计算：027(1)2sin 602--π++-．14．已知310x -=，求代数式22()(31)4x x x x x -+++的值 ．15．解分式方程：26111x x x -=+-．16．已知：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 在 AD 上，AE DF =，连接BE 、CF ． 求证：BE CF =．17．已知方程组24,5x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,.x m y n =⎧⎨=⎩ 又知点(),A m n 在双曲线()0ky k x =≠上，求该双曲线的解析式．四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）18．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，︒=∠45C ，E 是CD 的中点，24AB AD ==，求BE 的长．19．如图，点A B F 、、在O 上，30AFB ∠=︒，OB 的延AB FDCE长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC AD ⊥于C ，60CBD ∠=︒，连接AB . （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AB =，求阴影部分的面积.五、解答题（本题满分6分）20．某校欲从甲、乙、丙三名候选人中挑选一名作为学生会主席，根据设定的录用程序，首先，随机抽取校内200名学生对三名候选人进行投票选举，要求每名学生最多推荐一人. 投票结果统计如下：200名学生投票结果统计图 三名候选人得票情况统计图其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，成绩如下表所示：测试项目 测试成绩（分）甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试937068请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1和图2；（2）若每名候选人得一票记1分，根据投票、笔试、面试三项得分按3:4:3的比例确定个人综合成绩，综合成绩高的被录用，请你分析谁将被录用.六、解答题（共2道小题，21题5分，22题4分，共9分） 21．列方程或方程组解应用题：为保证学生有足够的睡眠，政协委员于今年两会向大会提出一个议案，即“推迟中小学生早晨上课时间”，这个议案当即得到不少人大代表的支持. 根据北京市教委的要求，学生小强所在学校将学生到校时间推迟半小时. 小强原来7点从家出发乘坐公共汽车，7点20分到校；现在小强若由父母开车送其上学，7点45分出发，7点50分就到学校了. 已知小强乘自家车比乘公交车平均每小时快36千米，求从小强家到学校的路程是多少千米？22．请阅读下列材料：弃权2%乙38% 丙 %甲25%图1 图2 020406080甲乙丙得票数图3lC ABP A 'D问题：如图1，点,A B 在直线l 的同侧，在直线l 上找一点P ，使得AP BP +的值最小. 小明的思路是：如图2，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点P 即为所求.请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA '与直线l 的交点为C ，过点B 作BD ⊥l ，垂足为D . 若1CP =，2PD =，1AC =，写出AP BP +的值；（2）将（1）中的条件“1AC =”去掉，换成“4BD AC =-”，其它条件不变，写出此时AP BP +的值； （3）请结合图形，直接写出.七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=． （1）若原方程有实数根，求k 的取值范围； （2）设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ． ①当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；②利用图象，估算关于k 的方程1210x x k ++-=八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物ll图2图1AB2y x bx c =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线1y kx =+交抛物线于点()2,3C ．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线1y kx =+与抛物线的对称轴交于 点E ，以点E 为中心将直线1y kx =+顺时针 旋转90︒得到直线l ，设直线l 与y 轴的交点 为P ，求APE ∆的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的 点F ，使以B E F G 、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．九、解答题（本题满分8分）25.已知90AOB ∠=︒，OM 是AOB ∠的平分线．将一个直角RPS 的直角顶点P 在射线OM 上移动，点P 不与点O 重合.（1）如图，当直角RPS 的两边分别与射线OA 、OB 交于点C 、D 时，请判断PC 与PD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图，在（1）的条件下，设CD 与OP 的交点为点G，且2PG PD =，求GD OD的值；（3）若直角RPS 的一边与射线OB 交于点D ，另一边与直线OA 、直线OB 分别交于点C 、E ，且以P 、D 、E 为顶点的三角形与OCD ∆相似，请画出示意图；当1OD =时，直接写出OP 的长.昌平区2008—2009学年第二学期初三年级第一次统一练习RB PCADOG SM数学试卷答案及评分参考一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分） 130(1)2sin 602-π++-122=++ 4分1=．5分14．解：22()(31)4x x x x x -+++ =323234x x x x -+++ 2分 =344x +．3分 当310x -=时，3x =1． 4分 原式4148=⨯+=． 5分15．解：分母因式分解，得()()61111x x x x -=++- 1分方程两边同乘()()11x x +-，得()()()1611x x x x --=+- 3分 解得 5x =-．4分 经检验，5x =-是原分式方程的解． 5分16．证明：∵四边形ABCD 是矩形， 90A D ∴∠=∠=︒，AB DC =．………………………………………2分 在AEB △和DFC △中，,AB DC A D AE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，AEB DFC ∴△≌△． 4分 BE CF ∴=．5分AB FDCE17．解：解方程组24,5x y x y +=⎧⎨-=⎩得3,2.x y =⎧⎨=-⎩ …………………………………………2分∴点A 的坐标为()3,2-．3分∵点(3,2)A -在双曲线ky x=上， 2.3k ∴-=解得6k =-．4分 ∴该双曲线的解析式为6y x=-． 5分四、解答题（共2道小题，每小题5分，共10分）18．解：如图，分别过点D E 、作DF BC ⊥于点F ，EH BC ⊥于点H ． ∴EH DF ∥，90DFB DFC EHB EHC ∠=∠=∠=∠=︒． 又90A ∠=︒，AD BC ∥，90ABC ∴∠=︒ .∴四边形ABFD 是矩形． ∵24AB AD ==, 2AD ∴=．2BF AD ∴==，4DF AB ==． 1分在Rt DFC △中，45C ∠=， 4FC DF ∴==． 2分又∵E 是CD 的中点，122EH DF ∴==．3分2HC EH ∴==． 2FH ∴=． 4BH ∴=．4分在Rt EBH △中，22224225BE BH EH ∴=+=+=．5分19．（1）证明：如图，连结OA ． 30AFB ∠=︒, 点F 在⊙O 上， 60AOB ∴∠=︒． 60CBD ∠=︒, CBD AOB ∴∠=∠．OA ∴∥BC ．…………………1分 又BC AD ⊥, OA AD ∴⊥ ． ∵点A 在O 上， ∴AD 是O 的切线．2分（2）解：∵60AOB ∠=︒，OA OB =，ABCD EHFOAB ∴∆是等边三角形． ∵6AB =，6OA AB ∴==．在Rt OAD △中，90OAD ∠=，tan ADAOD OA ∴∠=，6tan 60AD ∴=︒=162OAD S ∆∴=⨯=．3分26066360AOBS ππ⨯⨯==扇形，4分6S π∴=阴影．5分五、解答题（本题满分6分） 20．解：（1）图1中，丙得票所占的百分比为35%． 1分 补全图2见下图．2分三名候选人得票情况统计图（2）∵5030%7540%9330%72.930%40%30%x ⨯+⨯+⨯==++甲，7630%8040%7030%75.830%40%30%x ⨯+⨯+⨯==++乙，7030%9040%6830%77.430%40%30%x ⨯+⨯+⨯==++丙．5分∴丙被录用． 6分 六、解答题（共2道小题，21题5分，22题4分，共9分）21．解：设小强乘公交车的平均速度是每小时x 千米，则小强乘自家车的平均速度是每小时(36)x +千米． 1分 依题意，得205(36)6060x x =+． 2分 解得12x =．3分 2012460∴⨯=． 4分20406080甲乙丙得票数答：从小强家到学校的路程是4千米． 5分 22．解：（1）AP BP +的值为 2分 （2）AP BP +的值为5． 3分（34分七、解答题（本题满分7分）23．解：（1）∵一元二次方程2220kx x k ++-=有实数根，()2k 0,2420.k k ≠⎧⎪∴⎨-⨯⨯-≥⎪⎩ 1分()2k 0,410.k ≠⎧⎪∴⎨-≥⎪⎩ ∴当0k ≠时，一元二次方程2220kx x k ++-=有实数根． 2分（2）①由求根公式，得1(1)k x k-±-=． 1221k x k k-∴==-，21x =-．…………………3分 要使1x ，2x 均为整数，2k必为整数，所以，当k 取12±±、时，1x ，2x 均为整数． ……………………………………5分 ②将121x k=-，21x =-代入方程 1210x x k ++-=中，得21k k=-．设12y k =，21y k =-，并在同一平面直角坐标系中分别画出12y k=与21y k =-的图象（如图所示）．6分由图象可得，关于k 的方程1210x x k ++-=的解为11k =-，22k =．………………7分 八、解答题（本题满分7分）24．解：（1）∵点()2,3C 在直线1y kx =+上，213k ∴+=．解得1k =．∴直线AC 的解析式为1y x =+．1分∵点A 在x 轴上， (10)A ∴-，．抛物线2y x bx c =-++过点A C 、，10423b c b c --+=⎧∴⎨-++=⎩，．解得23b c =⎧⎨=⎩，．∴抛物线的解析式为223y x x =-++．2分（2）由()222314y x x x =-++=--+，可得抛物线的对称轴为1(30)x B =，，．()1,2E ∴．…………………3分根据题意，知点A 旋转到点B 处，直线l 过点B E 、设直线l 的解析式为y mx n =+．将B E 、的坐标代入y mx n =+中，联立可得m =-∴直线l 的解析式为3y x =-+．4分()0,3P ∴．过点E 作ED x ⊥轴于点D .()1114322222APE APB EAB S S S AB PO AB ED ∆∆∆∴=-=⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯-=．5分（3）存在，点F 的坐标分别为()3,0、()3,0、()1,0-、()1,0-．7分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）PC 与PD 的数量关系是相等 ．1分证明：过点P 作PH OA ⊥，PN OB ⊥，垂足分别为点H N 、． ∵90AOB ∠=︒，易得90HPN ∠=︒．190CPN ∴∠+∠=︒，而290CPN ∠+∠=︒，12∴∠=∠． ∵OM 是AOB ∠的平分线， PH PN ∴=，又90PHC PND ∠=∠=︒， PCH PDN ∴△≌△． PC PD ∴=．2分（2）PC PD =，90CPD ∠=︒， 345∴∠=︒， 45POD ∠=︒， 3POD ∴∠=∠．321G N SH ODA CMPBR第11页 共11页 又GPD DPO ∠=∠，POD ∴△∽PDG △．3分 GDPGOD PD ∴=．∵PG =，GDPGOD PD ∴==4分 （3）如图1所示，若PR 与射线OA 相交，则1OP =；6分 如图2所示，若PR 与直线OA 的交点C 与点A 在点O的两侧，则1OP =．8分SR B PMCA D O 图1G E R S图2O D A CMPBE。