1989年全国高考数学试题及答案解析
(理工农医类)
一、选择题:每一个小题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的括号内.
【】
[Key] 一、本题考查基本概念和基本运算.
(1)A
(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是
【】
[Key] (2)D
【】
[Key] (3)C
【】
[Key] (4)A
(A)8 (B)16
(C)32 (D)48
【】
[Key] (5)B
【】
[Key] (6)C
【】
[Key] (7)D
(8)已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且相距为1,那么这个球的半径是
(A)4 (B)3
(C)2 (D)5
【】
[Key] (8)B
【】
[Key] (9)C
【】
[Key] (10)D
(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)
(A)在区间(-1,0)上是减函数
(B)在区间(0,1)上是减函数
(C)在区间(-2,0)上是增函数
(D)在区间(0,2)上是增函数
【】
[Key] (11)A
(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有
(A)60个(B)48个
(C)36个(D)24个
【】
[Key] (12)C
二、填空题:只要求直接填写结果.
[Key] 二、本题考查基本概念和基本运算,只需要写出结果.
(14)不等式│x2-3x│>4的解集是 .
[Key]
[Key] (15)(-1,1)
(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,那么a1+a2+…+a7= .
[Key] (16)-2
[Key] (17)必要,必要
(18)如图,已知圆柱的底面半径是3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上,并且AB=5,那么直线AB与轴OO＇之间的距离等于 .
[Key] (18)
三、解答题.
[Key] 三、解答题.
(19)本题主要考查:运用三角公式进行恒等变形的能力.
证法一:
证法二:
(Ⅰ)求证:顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上;
(Ⅱ)求这个平行六面体的体积.
[Key] (20)本题主要考查:线面关系,三垂线定理以及空间想象能力.
(Ⅰ)证明:
如图,连结A1O,则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M,作ON⊥AD交AD于N,连结A1M,A1N.
由三垂线定理得
A1M⊥AB,A1N⊥AD.
∵∠A1AM=∠A1AN,
∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA.
∴A1M=A1N.
∴OM=ON.
∴点O在∠BAD的平分线上.
(Ⅱ)解:
∴平行六面体的体积
(21)自点A(-3,3)发出的光线L射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线L所在直线的方程.
[Key] (21)本题主要考查:直线和圆的方程以及灵活应用有关知识解决问题的能力.
解法一:
已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1,
它关于x轴的对称圆的方程是
(x-2)2+(y+2)2=1.
设光线L所在直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).
由题设知对称圆的圆心C到这条直线的距离等于1,即
整理得
12k2+25k+12=0,
故所求的直线方程是
即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.
解法二:
已知圆的标准方程是
(x-2)2+(y-2)2=1.
设光线L所在直线的方程是
y-3=k(x+3)(其中斜率k待定).
由题意知k≠0,于是L的反射点的坐标是
因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线L＇所在直线的方程是
即y+kx+3(1+k)=0.
这条直线应与已知圆相切,故圆心C到它的距离等于1,
以下同解法一.
(22)已知a>0,a≠1,试求使方程log a(x-ak)=log a2(x2-a2有解的k的取值范围.
[Key] (22)本题主要考查:对数函数的性质以及解不等式的能力.
解:
由对数函数的性质可知,原方程的解x应满足
当①,②同时成立时,③显然成立,因此只需解
由①得 2kx=a(2+k2). ④
当k=0时,由a>0知④无解,因而原方程无解.
把⑤代入②,得
当k<0时得k2>1,即-∞<k<-1.
当k>0时得k2<1,即0<k<1.
综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解.
(23)是否存在常数a,b,c使得等式
对一切自然数n都成立？并证明你的结论.
[Key] (23)本题主要考查:综合运用待定系数法、数学归纳法解决问题的能力.解法一:
假设存在a,b,c使题设的等式成立,这时,
令n=3 得70=9a+3b+c,
经整理得
解得
a=3,b=11,c=10.
于是,对n=1,2,3下面等式成立:
记S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2.
设n=k时上式成立,即
那么
S k+1=S k+(k+1)(k+2)2
也就是说,等式对n=k+1也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.
解法二:
因为n(n+1)2=n3+2n2+n,所以
S n=1·22+2·32+…+n(n+1)2
=(13+2·12+1)+(23+2·22+2)+…+(n3+2n2+n)
=(13+23+…+n3)+2(12+22+…+n2)+(1+2+…+n).
由于下列等式对一切自然数n成立:
由此可知
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,
题设的等式对一切自然数n成立.
(24)设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I k表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I0时f(x)=x2.
(Ⅰ)求f(x)在I k上的解析表达式;
(Ⅱ)对自然数k,求集合M k={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}.
[Key] (24)本题主要考查:周期函数的概念,解不等式的能力.
(Ⅰ)解:∵f(x)是以2为周期的函数,
∴当k∈Z时,2k是f(x)的周期.
又∵当x∈I k时,(x-2k)∈I0,
∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
即对k∈Z,当x∈I k时,f(x)=(x-2k)2.
(Ⅱ)解:当k∈N且x∈I k时,利用(Ⅰ)的结论可得方程(x-2k)2=ax,
整理得 x2-(4k+a)x+4k2=0.
它的判别式是
△=(4k+a)2-16k2=a(a+8k).
上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足
化简得
由①知a>0,或a<-8k. 当a>0时:
当a<-8k时:
故所求集合。