第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =nx , 用“N -ε”定义验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且∞→n lim )(x f n = ∞→n lim nx =⎩⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 ||, 0 x x例2 )(x f n =nnxsin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.函数列的一致收敛性：设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数)(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有ε<-)()(x f x f n则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。

注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。

一致收敛的几何意义对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。

一致收敛情况图示对任意0>ε，n 充分大时，)(x f n 将全部落入ε－带以内。

)}({x f n 收敛但不一致收敛的几何意义：对任意 D x ∈， )()(lim x f x f n n =∞→，但存在一个00>ε，对任意的N ，都可找到一个0n ，尽管 N n >0，但 )(0x f n 总有一部分落在0ε带以外。

例 证明函数列证明 1）函数列在 ]1,0[ 上收敛。

显然 对任意的]1,0[∈x ， 0)(21→+=nx nx f nn 2）但 )(x f n 不一致收敛于0先看一看函数列的图象（图中给出的是 n ＝8，20，50 的情况）clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold onplot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')可以看出，对于 5.00<ε，无论 n 再大，)(x f n 的图象总有一部分落在0ε－带以外。

事实上存在 n x n 10=， 000.21|)()(|ε>=-x f x f n n ， 所以该函数列是不一致收敛的。

例 函数列 }{nx 在]1,0[上不一致收敛，但在 1,],0[<αα 上一致收敛。

先看看该函数列的图象clf,x=0:1/100:1;y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)对于10<ε，不管n 再大，nx 的图象总有一部分落在0ε－带以外。

事实上，我们容易看出n e n n ⇒→-1)11( 充分大时，31)11(>-n n 所以该函数列在]1,0[上不一致收敛。

再看看该函数列在 1,],0[<αα 上的图象 clf,x=0:1/100:0.7;y1=x.^13;y2=x.^18;y3=x.^20;plot(x,y1,x,y2,x,y3,'b','linewidth',2),hold on plot([0,0.7],[0,0],'r',[0,0],[-0.02,0.02],'r') plot([0,0.7],[0.005,0.005],'m') axis([0,0.71,-0.01,0.02])对任意的 0>ε，总存在N, 当 n>N 时，nx 的图象将全部落入ε－带之内。

事实上，n n x f α≤<)(0，所以，该函数列在 1,],0[<αα 上是一致收敛。

函数项级数及其一致收敛性定理13.1 (一致收敛的Cauchy 准则 ) 函数列 D x x f n ∈,)}({一致收敛的充分必要条件是：对任意 0>ε，存在某一自然数N ，当 N m n >, 时，对一切 D x ∈，都有ε<-|)()(|x f x f m n证 )⇒ ( 利用式 .f f f f f f n m n m -+-≤-))⇐ 易见逐点收敛. 设∞→n lim )(x f n =)(x f ,……,有 2|)()(|ε<-x f x f n m .令∞→m , ⇒ εε<≤-2|)()(|x f x f n 对∈∀x D 成立, 即)(x f n −→−−→−)(x f ,) (∞→n ，∈x D .定理13.2 函数列 D x x f n ∈,)}({一致收敛的充分必要条件是：0|)()(|sup lim =-∈∞→x f x f n Dx n推论 设在数集D 上 )(x f n →)(x f , ) (∞→n . 若存在数列}{n x ⊂D , 使0 |)()(|→/-n n n x f x f , 则函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛 .应用此判断函数列)}({x f n 在数集D 上非一致收敛时, 常作辅助函数=)(x F n )(x f n ―)(x f 取在}{n x 为数集D 上的最值点.例7 对定义在区间] 1 , 0 [上的函数列⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<=≤<-≤≤=. 11 , 0), , 2 , 1 ( , 121 ,22,210 , 2)(22x n n n x n x n n n x x n x f n证明: ∞→n lim )(x f n =0, 但在] 1 , 0 [上不一致收敛.证 10≤<x 时, 只要1->x n , 就有)(x f n =0. 因此, 在] 1 , 0 (上有)(x f =∞→n lim )(x f n =0. 0)0(=n f , ⇒ )0(f =∞→n lim )0(n f =0.于是, 在] 1 , 0 [上有 )(x f =∞→n lim )(x f n =0. 但由于021|)()(|max ]1,0[→/=⎪⎭⎫⎝⎛=-∈n n f x f x f n n x , ) (∞→n , 因此 , 该函数列在] 1 , 0 [上不一致收敛.例 判别下面函数列在区间 ]1,0[ 上的一致收敛性 1) }1{xn nx++ 2) })1({n x nx -解 1） x xn 1nxlim )(=++=∞→n x fnx n x x x x n nx x f x f n 2|1)1(|sup |1|sup |)()(|sup ≤+++=-++=-0|)()(|sup lim =-∞→x f x f n n所以，函数列}1{xn nx++在区间 ]1,0[ 上一致收敛。

2）⎪⎩⎪⎨⎧≠=-==-=∞→∞→0,0)]1([lim 0,0)1(lim )(x x n x x x nx x f n n n nn 求极大点方法可求得1)111(|)1(|sup |)()(|sup ++-=-=-n n n n x nx x f x f 01|)()(|sup lim ≠=-∞→ex f x f n n 函数列 })1({nx nx - 在 ]1,0[ 上不一致收敛。

例 )(x f n 2222x n xen -=. 证明在R 内 )(x f n →0, 但不一致收敛.证 显然有)(x f n →0, |)()(|x f x f n -= )(x f n 在点 n x =n21 处取得极大值022121→/=⎪⎭⎫⎝⎛-ne n f n ,) (∞→n . )}({x f n 不一致收敛. 例6 221)(xn xx S n +=. 证明在) , (∞+∞-内)(x S n −→−−→−0, ) (∞→n .证 易见 ∞→n lim .0)()(==x S x S n 而nnx x n n x n x x S x S n 21)(1||2211|||)()(|222≤+⋅=+=- 在) , (∞+∞-内成立.⇒ ……二 函数项级数及其一致收敛性我们知道，有限个函数的和函数的性质是通过每个相加的函数的性质去认识的，有限个连续函数的和是连续的；有限个可微函数的和是可微的，且和的导数等于每个函数的导数的和；有限个可积函数的和是可积的，且和的积分等于每个函数积分的和。