2n
n
x,
0
x
1 2n
fn (x)
2
n
2nn
x,
1 2n
n xx0
fn (x)
即极限次序可换 .
3. 可积性定理
若在区间 [ a ,b ] 上函数列{ fn (x) }一致收
敛 , 且每个 f n (x) 在[ a , b ] 上连续. 则有
b
b
a
lim
n
fn (x)
dx lim n
a fn (x)dx.
证
设在[ a , b ] 上
fn
f (x) ,
线 y sn ( x)将位于曲线
y s( x) 与 y s( x) 之间.
y
y s( x)
y s( x)
y sn(x)
y s( x)
o
I
x
例2 研究级数
1 x1
x
1
2
x
1
1
x
1
n
x
1 n
1
在区间[ 0,)上的一致收敛性.
解
sn( x)
x
1
, n
1
s( x)
, 2
令 p ,则由上式得
rn (
x)
2
.
因此函数项级数 un ( x) 在区间I 上一致收敛. n1
例4 证明级数
sin x sin 22 x sin n2 x
12
22
n2
在(,)上一致收敛.
证 在(,)内
sin n2 x 1
n2
n2
(n 1,2,3, )
级数
1 收敛，
n2
4.一致收敛性简便的判别法：
定理13.5（Weierstrass判别法）
如果函数项级数 un ( x)在区间I 上满足条件: n1
(1) un ( x) an (n 1,2,3 );
(2) 正项级数 an 收敛, n1
则函数项级数 un ( x)在区间 I 上一致收敛. n1
证 由条件(2)，对任意给定的 0 ，根据柯西
n 1
在 D 上一致收敛的一个必要条件是：
函数列un (x)在 D 上一致收敛于 0.
3．若已知和函数 S(x) 可用下面的判别法
定理 13-4 函数项级数 un (x)在 D 上一致收 n 1
敛于 S(x)
lim sup
n xD
Rn (x)
lim sup n xD
S(x) Sn (x)
0.
x
U
x0
与x
x0分别改为U
x0
(或U
x0
)与x
x0
(或x
x0 )即可.
2.连续性定理
设在 D上
fn
f (x) ,且对
n
,函数
fn (x)
在 D 上连续 , f (x) 在 D 上连续.
证 ( 要证 : 对 x0 D, f (x) 在点 x0
连续 .即证: 对 0 , 0 , 当 | x x0 | 时, | f (x) f (x0 ) | . )
从而
rn ( xn )
s( xn )
sn ( xn )
1. 2
只要取 1 ，不论n 多么大，在(0,1)总存在
2 点 xn， 使得 rn( xn ) ,
因此级数在( 0, 1 )内不一致连续．
说明: 虽然函数序列 sn ( x) xn 在( 0, 1 )内处处 收敛于 s( x) 0 , 但 sn ( x)在( 0, 1 )内各点处收
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?)
函数项级数的部分和 sn ( x), 余项 rn ( x) s( x) sn ( x)
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
敛于零的“快慢”程度是不一致的．
从下图可以看出:
y y sn ( x) x n (1,1)
n1
n2
n n410
n 30
o
1x
注意：对于任意正数r 1，这级数在[0,r] 上 一致收敛．
小结 一致收敛性与所讨论的区间有关．
三一致收敛性判别
1．用定义 2.一致收敛的柯西准则 定理13-1（函数列一致收敛的柯西准则）
得当 n N 时，对一切 x D，都有
fn (x) f (x)
由上确界的定义，亦有
sup fn (x) f (x)
xD
则有
lim
n
su
xD
pf
n
(x)
f (x)
0.
[充分性] 由假设，对任给的 0 ，
存在正整数 N ,使得当 n N ，有
sup fn (x) f (x)
由
Th1,
函数 f (x) 在区间[ a , b ] 上连续,因此可积.
我们要证
lim
n
b
a fn (x)dx
b f (x)dx .
a
注意到
b
b
b
a f n a f
|
a
fn
f
|,
可见只要
|
fn (x)
f
(x) |
ba
在[ a , b ] 上成立.
例 1.定义在[0,1]上的函数列
函数列 fn在数集 D 上一致收敛的充要条件是：
对任给的正数 ，总存在正数 N ，使得
当 n, m N 时，对一切 xD ，都有
fn(x) fm(x)
证 [必要性] 设 fn (x)
u ur
f (x)
(n )， x D，
即对任给 0 ，存在正数 N ，使得当 n N
时，对一切 x D，都有
一 点态收敛
现在我们将级数的概念从数推广到函数上去. （一）函数项级数的一般概念
1.定义:
设 u1( x), u2( x), ,un( x), 是定义在 I R 上的
函数,则 un( x) u1( x) u2 ( x) un( x)
n1
称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
定理13-3（函数项级数一致收敛的柯西准则） 函对数于项级 数 0n，1 unN(x，) 在使D得上当一n致收N敛时， 对一切 x D和一切正整数 p ，都有
Sn p (x) Sn (x)
即 un1(x) un2 (x) unp (x) . 特别地，当 p 1时，得到函数项级数 un (x)
xD
因为对一切 x D，总有
fn (x) f (x) sup fn (x) f (x)
xD
故
fn (x) f (x) .
于是 fn 在 D 上一致收敛于 f .
例 4.定义在[0,1]上的函数列
2n 2 x,0
x
1 2n
f n (x)
2n
2n 2 x,
1 2n
x
1 n
0,
1 n
x 1
n
1,2,
由于
fn (0)
0
，故
f
(0)
lim
n
fn (0)
0.
当
0
x
1时，只要
n
1 x
，就有
fn
(x)
0
，
故在
(0,1]
上有
f
(x)
lim
n
fn
(x)
0
.于是函数列
在[0,1]上的极限函数 f (x) 0，又由于(n )
sup
x[0,1]
fn (x)
f (x)
f
n
(
1 2n
)
n
所以，所给函数列在[0，1]上不一致收敛.
一 一致收敛函数列的性质 二 函数项级数的性质
一. 一致收敛函数列的解析性质
1 函数及限与序列极限交换定理
fn
x
f
x
lim
x x0
fn
x
an
lim
n
an
(即nlim
lim
xx0
lim xx0
fn x
f
x 存在
lim
xx0
lim
n
fn
x)
讨论单侧极限是, 只要把以上定理中的
第十三章
函数列与函数项级数
13.1 一致收敛性
一 点态收敛 二 函数项级数（或函数序列）的基本问题 三 函数项级数（或函数列）的一致收敛性 四 一致收敛性判别 五 小结
问题的提出
问题: 有限个连续函数的和仍是连续函数，有限 个函数的和的导数及积分也分别等于他们的导数 及积分的和．对于无限个函数的和是否具有这些 性质呢？
于是当 n, m
N
fn (x)
，就有
f
(x)
2
fn (x)
fm (x)
fn (x) f (x)
f (x)
fm
(x)
2
2
[充分性] 若 fn (x) fm(x) 成立，由数列收
敛的柯西准则， fn在 D 上任一点都收敛，
记其极限函数为 f (x) ， x D .现固定上式中的
n ，让 m ，于是当 n N 时，对一切 x D
例3 研究级数
x ( x2 x) ( x3 x2 ) ( xn xn1 )
在区间( 0 , 1]内的一致收敛性.