第十二讲函数列与函数项级数12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛一、函数列（一）函数列的收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛函数列(){}I x x f n ∈,，若对I x ∈∀，数列(){}x f n 都收敛，则称函数列在区间 I 上逐点收敛，记 ()()I x x f x f n n ∈=∞→,lim ，称()x f 为(){}x f n 的极限函数．简记为()()()I x n x f x f n ∈∞→→,2 ．逐点收敛的N -ε定义对I x ∈∀ ，及 0>∀ε，()0,>=∃εx N N ，当N n > 时，恒有()()ε<-x f x f n 3 ．一致收敛若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上，对 0,0>∃>∀N ε，当N n > 时，对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ，则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f ．记为()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒, . 4 ．非一致收敛00>∃ε，对N n N >∃>∀0,0，及I x ∈∃0，使得()()0000ε≥-x f x f n例 12 . 1 证明()nn x x f =在[]1,0逐点收敛，但不一致收敛．证明：当[]1,0∈x 时，()0lim lim ==∞→∞→nx n n x x f ，当1=x 时，()11lim =∞→n n f ，即极限函数为()[)⎩⎨⎧=∈=1,11,0,0x x x f ．但 ()x f n 非一致收敛，事实上，取0310>=ε。

对0>∀N ，取N N n >+=10，取()1,021010∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x · 此时()()00002100ε>==-nx x f x f n ，即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 ．一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛⇔对 0,0>∃>∀N ε，当 n , m > N 时，对一切I x ∈，恒有()()ε<-x mn f x f6 ．非一致收敛的柯西准则函数列(){}x f n 在 I 上非一致收敛00>∃⇔ε，对N n m N >∃>∀00,,0，及I x ∈∃0，使得()()00000ε≥-x f x f m n例12 . 2 用柯西准则证明：()()()1...2,1sin==n nxx f n 在[]l l ,-上一致收敛； ( 2 )在 ()+∞∞-,上非一致收敛．证明： ( 1 ）对0>∀ε，取02>=εlN ，当 N n m >>时 ·对一切[]l l x ,-∈ 有ε<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤-≤-mlm n x m x n x m x n x 211sin sin即()nxx f n sin =在[]l l x ,-∈上一致收敛 · ( 2 ）取0410>=ε，对 0>∀N ，取0002,1n m N N n =>+=，取()+∞∞-∈=,200πn x ，则有()()000000000412114sin2sinsin sin εππ=>-=-=-=-m xn x x f x f m n即()nxx f n sin =在()+∞∞-∈,x 上非一致收敛 · 7 ．充要条件函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛于()()()0sup lim =-⇔∈∞→x f x f x f n Ix n ·注：这是一个非常重要的定理，判断函数列一致收敛性，用它方一便快捷．例 12.3 讨论函数列()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++≤≤++-=111,0110,11x n n x x n x f n 的一致收敛性’解： ① 求极限函数．当(]1,0∈x 时，()()0lim ==∞→x f x f n n ，当0=x 时．()()10lim 0==∞→n n f f ，即极限函数为()(]⎩⎨⎧∈==1,0,00,1x x x f②[]()()()()()∞→≠=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-∈n n f n f x f x f n n x 021211121121sup 1,0即 ()()()∞→≠>n x f x f n（二）极限函数的性质1 ．连续性 若满足：( 1 ）对每一个n ，()x f n 在区间 I 上都连续； ( 2 ) ()()()I x n x f x f n ∈∞→⇒,;则 ()x f 在 I 上连续，即 ()()()()0000lim lim lim lim lim x f x f x f x f n x x n n n x x x x ===→∞→∞→→→注：其逆否命题：若n f 都连续，但极限函数f 不连续，则必不一致收敛．可用此命题再对例12.1及例 12 . 3 进行判断． 2 ．可积性 若满足：（ 1 ）对每一个 n , ()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒； 则()x f 在[]b a ,上可积，且()()()⎰⎰⎰∞→∞→==bab a ban n n n dx x f dx x f dx x f lim lim3 ．可微性 若满足：( 1 ）对每一个 n ，()x f n 在区间[]b a ,上都连续； ( 2 ）[]b a x ,0∈∃使()()()∞→→n x f x f n ; ( 3 ）()()()[]b a x n x g x fn,,'∈∞→⇒.则()x f 在[]b a ,上可导，且()()x g x f ='，即 ()()()()x f x f dx dx f n n n n ''lim lim ∞→∞→==注：以上三个定理的条件仅为充分条件．4 ．狄尼定理若函数列(){}x f n 对每一个 n , (){}x f n 都在[]b a x ,∈上连续，对每一点[]b a x ,∈，(){}x f n 为单调的，且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，则()x f 在[]b a ,连续的充要条件是()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→⇒．证明：充分性显然，下证必要性．（反证法）假设()()()[]b a x n x f x f n ,,∈∞→≠>．由定义，00>∃ε，对0>∀N ，N n >∃0及[]b a x ,0∈，使得()()0000ε≥-x f x f n ．特别地，当取,...,...,2,1k N =k 时，分别存在k n k >，及[]b a x k ,∈使得()()0ε≥-k k nk x f x f （ * )并且不妨设......21<<<<k n n n 由已知，(){}x f n 对固定的x 是单调的，不妨设为单调递增．且()()[]b a x x f x f n n ,,lim ∈=∞→，即()()()()x f x f x f x f n ≤≤≤≤≤......21．于是式（ * )可写为()()0ε≥-k n k x f x f k （ ** )由于{}[]b a x k ,⊂为有界数列，必有收敛子列，不妨仍设为{}k x ，即[]b a x x k n ,lim '∈=∞→.因 ()()''lim x f x f n n =∞→，对上述的0,00>∃>N ε，当N n > 时．恒有()()0''ε<-x f x f n .特别地，有()()0'1'ε<-+x f x f N （*** )当N N n k >+≥1时，由单调性及式（ ** )有()()()()01ε≥-≥-+k n k k N k x f x f x f x f k注意到 ()x f 及()x f N 1+的连续性，令∞→k 取极限得 ()()0'1'ε≥-+x f x f N ．此与（*** )式矛盾，即n f 必一致收敛于f.二、函数项级数（一）函数项级数的逐点收敛与一致收敛 1 ．逐点收敛(){}x u n 为定义在区间 I 上的函数列，称()∑∞=∈1,n n I x x u 为函数项级数．若对I x ∈∀，级数()∑∞=1n nx u 都收敛．则称函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间I 上逐点收敛，称()()∑∈=I x x u x f n ,为和函数．称 ()()∑==nk k n x u x S 1为部分和函数，()()∑∞==1n k n x u x R 为第n 项余项函数 ·()∑∞=1n n x u 逐点收敛于 ()()()I x x f x S x f nn ∈=⇔∞→,lim2 ．一致收敛若()()()I x n x f x S n ∈∞→⇒,，则称函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛于和函数()x f ．()∑∞=1n nx u 一致收敛于()()()I x n x R x f n∈∞→⇒⇔,03 ．一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上一致收敛⇔对0,0>∃>∀N ε，当N n >时，对任意的自然数p ，及对一切I x ∈，恒有()()()ε<++++++x u x u x u p n n n ...21 注：由此可得到函数项级数()∑∞=1n nx u 在区间 I 上一致收敛的必要条件：一般项(){}x u n一致收敛于零．逆否命题：若一般项(){}x u n 不致收敛于零．则函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上必不一函数项级数收敛。

4 ．非一致收敛柯西准则 函数项级数()∑∞=1n n x u 在区间 I 上非一致收敛,00>∃⇔ε对N n N >∃>∀0,0及 0p 和I x ∈0 ，使得()()()0000020010...ε≥++++++x u x u x u p n n n例 12 . 4 讨论函数项级数∑∞=0n nx在下列区间上的一致收敛性： ①[]()101,0<<a ; ②[)1,0.解法 l （用定义）：显然()x x x S n n --=11当10<≤x 时，()()x x S x f n n -==∞→11lim 则① []()()[]()∞→→-=-=-∈∈n a a xx x f x S nn a x n a x 011supsup ,0,0②[]()()[]()∞→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥-=--∈∈n n n n nn n n x x x f x S n nn a x n a x 1,0,011111sup sup .所以，函数项级数∑∞=0n nx在 ① 一致收敛；在 ② [)1,0上非一致收敛．解法 2 （用柯西准则）： ① 因为0lim ,10=<<∞→nn a a ，对0,0>∃>∀N ε，当N n >.时，()εa a n -<1于是对任意的自然数 p ，有ε<-<--=+++≤+++++++++++aa a a aa a a x x x n p n p n n n p n n n 111 (1)12121由柯西准则，∑∞=0n nx在 ① []a ,0上一致收敛．② 因 e n n n n 11lim 1=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→，所以0>∃N ，当N n >时，en n n 2111>⎪⎭⎫⎝⎛++．取0210>=e ε对0>∀K ，取 {}K N n ,m ax 0>，取[)1,1,01000=∈+=p n n x ，则 0100121100εε=>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++n n nn x 由柯西准则知，∑∞=0n nx在[)10，上非一致收敛． （二）函数项级数一致收敛判别法1 . M 判别法若()()I x ,,...2,1n M x u n n ∈∀=≤，而∑nM收敛，则()∑x u n在区间 I 上一致收敛，且绝对收敛． 2 ．阿贝尔判别法 若满足： ( l ）()∑x u n在区间 I 上一致收敛； ( 2 ）对固定的(){}x v ,I x n∈单调，且一致有界：即存在常数 M ，使()(),,...2,1n I x M x v n =∀∈∀≤，，则()()x v x u nn∑在 I 一上一致收敛．3 ．狄利克雷判别法若满足： ( 1 )()();,...2,1n ,I x M x u n1k k=∀∈∀≤∑=; ( 2 ) (){}x v n单调且在I 上一致收敛于零，则()()x v x u nn∑在 I 上一致收敛例 12 . 5 讨论下列函数项级数在所给区间上的一致收敛性：( 1 ）()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p x nx p; ( 2 ）()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n nn解： ( 1 ）因()()+∞∞-∈∀≤,1sin x n x nx p p ，而()∑>11p np收敛，由 M 判别法， ()()∑+∞∞-∈>,,1sin x p n nxp 一致收敛( 2 ）记()()()[]1,0,1,1∈⎪⎭⎫⎝⎛+=-=x n x x v nx u n n nn ，则()∑-nn 1收敛．，从而关于[]b a x ,∈ 一致收敛，对固定[](){}x v b a x n ,,∈单调递增且有界：()e x v n ≤≤1，对[]1,0,...,2,1∈∀=∀x n ．由阿贝尔判别法知，()()[]1,0,11∈+-∑+x n n x n n n 一致收敛．（三）和函数的性质 1 ．连续性()()∑∈=I x x u x f n ,．若满足： ( 1 ）对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续； ( 2 ）函数项级数卜致收敛的，则和函数()x f 在 I 上连续，即 ()()()∑==→0lim x f x u x f nx x .注：逆否命题：若()x u n 都连续，而和函数 f 不连续，则必不一致收敛． 2 ．可积性()()[]b a x x u x f n ,,∈=∑条件同上，则()x f 在[]b a ,上可积，且()()⎰∑⎰=baban dx x u dx x f3 ．可微性()()∑∈=I x x u x f n ,．满足： ( l ）对每一个()()x u x u n n ',,在区间 I 上连续； ( 2 ）存在I x ∈0，使()∑0x u n收敛； ( 3 ）()∑x u n'在 I 上一致收敛．则 ()x f 可导，且()I x x u n∈∑,'注：以上条件仅为充分条件． 4 ．狄尼定理若对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，()()∑∈=I x x u x f n,，则()x f 连续()∑⇔x u n 在 I 上一致收敛．证明：充分性显然，下面证明必要性．由于对每一个()x u n n ,在区间 I 上连续且非负，所以 ()()∑==nk k n x u x S 1在I 上连续，且关于n 是单调递增．则由前面证明的函数列的狄尼定理立即可得。