1. ( 2009 •株洲)如图，已知△ ABC 为直角三角形，/ ACB=90 ° AC=BC ,点A 、C 在x 轴上，点 B 坐标为(3，m )(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1, 0)为顶点的抛物线过点 B 、D . (1) 求点A 的坐标(用m 表示)； (2) 求抛物线的解析式；(3) 设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长 交AC 于点F ，试证明：FC(AC + EC)为定值.解析：(1 )由B(3,m)可知OC =3, BC=m ，又△ ABC 为等腰直角三角形，AC = BC = m , OA = m -3，所以点(2)T ODA "OAD =45.OD =OA =m - 3，则点D 的坐标是( 又抛物线顶点为 P(1,0)，且过点B 、D ,2y =a(x-1)，得：a(3 -1) =m解得 a ia(0 -1)2 =m -3m =4.抛物线的解析式为 y =x 2-2x • 1(3)过点Q 作QM _ AC 于点M ，过点Q 作QN _ BC 于点N ，设点Q 的坐标是(x, x 2 - 2x T), 则QM =CN =(x -1)2, MC =QN =3-x .2•/ QM //CE /. . PQM s . ：PEC .型=空 即(x-1) _ x -1，得 EC=2(x — 1)EC PCEC 2•/ QN // FC /• BQN s . BFC . QN即3~x _4 -(x_1)2，得 FC 二丄FC 一 BCFC 4x + 14又••• AC =4 . FC (AC EC) [42(x -1)]二x+1二、定长、定角、定点、定值类型1. ( 2011?东营)如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为(-3, 0) , (0, 1),点D1是线段BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y=—^-x + b 交折线OAB 于点E . (1) 记厶ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式；(2) 当点E 在线段OA 上时，且tan /DEO=<-.若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形 O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说 明理由. 考点：一次函数综合题。

> 分析：(1 )要表示出△ ODE 的面积， 卄” 要分两种情况讨论，①如果点E 在OA B --------------------------- C 边上，只需求出这个三角形的底边 OE 长(E 点横坐标)和高(D 点纵坐标)， _ \代入三角形面积公式即可； ②如果点 ?-【中考数学压轴题】 •、乘积、比值类型定值问题即FC(AC + EC)为定值8.…12分 (2x 2)2(x 1)=87分3此时 E (-3, b —2- )，D (2b - 2, 1),115 • S=S 矩—(OCD +S A OAE +S A DBE )=3— [_2- ( 2b — 2) ^+_2-x (5 — 2b ) ? (— b ) 3、- 5 2 2 ) ]= 2 b — b ,『3b cb 2 兰一 2 .I ?52 3 5 —b —b 2(— <b v —)2 2 2(2)如图3,设0识1与CB 相交于点M , OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积.由题意知，DM // NE , DN // ME , •四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，/ MED= / NED , 又/ MDE= / NED ,• / MED= / MDE , • MD=ME ,•平行四边形 DNEM 为菱形. 过点D 作DH 丄OA ，垂足为H ,1由题勿知，...=,DH=1 ，— HE=2 ,2设菱形DNEM 的边长为a , 则在Rt △ DHN 中，由勾股定理知：a 2= (2 — a ) 2+12,5^ _ _ 5…a= ',• S 四边形 DNEM =NE?DH=. 44E 在AB 边上，这时△ ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去 △ OCD 、△ OAE 、△ BDE 的面积; (2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积 是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化. 解答：解：(1)v 四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(—3, 3(—3, 0)时，贝V b^^, (—3, 1)时，贝U b= 5 若直线经过点 若直线经过点 若直线经过点(0, 1 )时，贝U b=1,①若直线与折线 3 OAB 的交点在 OA 上时，即1v ，如图1,1 1此时 E (2b , 0), • S=-2PE?CO=_2- X2b X1=b ;②若直线与折线 OAB 的交点在BA 上时，即-2-v b v-5-，如图20), (0, 1), ••• B (- 3, 1),/N 円]+~Y X 3 (b —S= ■= «(3)2. ( 2011?遵义)如图，梯形 ABCD 中，AD // BC , BC=20cm , AD=10cm ,B 、D 两点同时出发，点 P 以每秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动， DA 向终点A 移动，线段 PQ 与BD 相交于点E ,过E 作EF // BC 交CD 于点F ，射线QF 交BC 的延长线于点H ，设动点P 、Q 移动的时间为t (单位：秒， (1) 当t 为何值时，四边形 PCDQ 为平行四边形？(2) 在P 、Q 移动的过程中，线段 PH 的长是否发生改变？ 如果不变，求出线段 PH 的长；如果改变，请说明理由.考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；梯形。

分析：(1)如果四边形PCDQ 为平行四边形，则 DQ=CP ,现有两个动点 点Q 以每秒 P 、Q 分别从1cm 的速度沿0v t v 10).•矩形OA 伯1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为 据P 、Q 两点的运动速度，结合运动时间 t ，求出DQ 、CP 的长度表达式，解方程即可；(2) PH 的长度不变，根据 P 、Q 两点的速度比，即可推出QD ： BP=1: 2,根据平行线的性质推出三角形相似，得出相似比，即可推出PH=20 .解答：解：(1)v AD // BC , BC=20cm , AD=10cm ,点P 、Q 分别从B 、D 两点同时出发，点 P 以每 秒2cm 的速度沿BC 向终点C 移动，点Q 以每秒1cm 的速度沿DA 向终点A 移动， ••• DQ=t , PC=20 - 2t ,•••若四边形PCDQ 为平行四边形，则 DQ = PC , • 20 - 2t=t ，解得：上=乎; (2)线段PH 的长不变，••• AD // BH , P 、Q 两点的速度比为 2： 1,二 QD : BP=1 : 2, • QE : EP=ED : BE=1 : 2,•/ EF // BH , • ED : DB=EF : BC=1: 3,• PH=20cm .点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质和梯形的性质，解题的关键在于求 得DQ 和PC 的长度表达式，推出 DQ 和PC 的长度比为1 : 2.3. ( 2011?广州)已知关于 x 的二次函数y=ax 2 + bx + c (a > 0)的图象经过点 C (0,1),且与x 轴交 于不同的两点 A 、B ，点A 的坐标是(1 , 0) (1) 求c 的值； (2) 求a 的取值范围；(3) 该二次函数的图象与直线 y=1交于C 、D 两点，设A 、B 、C 、D 四点构成的四边形的对角线相 交于点卩，记厶PCD 的面积为S ,, △ PAB 的面积为，当0 v a v 1时，求证：S 1- S 2为常数，并求出 该常数.考点：二次函数综合题；解一元一次方程；解二元一次方程组；根的判别式；根与系数的关系；待定 系数法求一次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与 x 轴的交点；相似三角形的判定与性质。

专题：计算题。

分析：(1)把C (0, 1)代入抛物线即可求出 c ； (2)把A (1, 0)代入得到0=a + b + 1,推出b= — 1 —a ,求出方程 ax 2 + bx + 1=0，的b 2— 4ac 的值即可；1 + a1 1 _ a (3)设A (a , 0), B (b , 0),由根与系数的关系得：a + b= -------- , ab=—，求出AB = -------- ，把y=1aaa代入抛物线得到方程 ax 2+ (— 1 — a ) x +仁1，求出方程的解，进一步求出CD 过P 作MN 丄CD 于M ,•/ BC=20,• EF= 20 EF PH QE= 1 QP~=^-， 根PM CD交x轴于N，根据△ CPDBPA,得出 =..,求出PN、PM的长，根据三角形的面积公式即可求出3 —S2的值即可.解答：(1)解：把C (0, 1 )代入抛物线得：1=0 + 0 + c,解得：c=1 , 答：c的值是1.(2)解：把A (1, 0)代入得：0=a+ b+ 1,2• b= —1 —a, ax + bx+ 1=0,b2—4ac= (—1 —a) 2—4a=a2—2a + 1 >0,--a 工1 且a > 0,答：a的取值范围是a^l且a>0；即不论a 为何只，0—Q 的值都是常数. 答：这个常数是1.点评：本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解二元一次方程组，解一元一 次方程，相似三角形的性质和判定，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征， 二次函数与x 轴的交点等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是 一个综合性比较强的题目，题型较好，难度适中.4. ( 2011?株洲)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线 y=ax 2(a v 0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点 O ,两直角边与该抛物线交于 A 、B 两点，请解答以下问题：(1) 若测得OA=OB=2Q2 (如图1),求a 的值；(2) 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF 丄x 轴于点F , 测得OF=1，写出此时点B 的坐标，并求点 A 的横坐标； (3)对该抛物线，孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标. 解：(1)设线段AB 与y 轴的交点为C ，由抛 物线的对称性可得 C 为AB 中点， T 0A=0B=2 2, AOB =90 , • AC =OC 二 BC =2, •- B (2, -2)将B (2 , -2)代入抛物线y=ax 2(a v 0)得,a =丄2(2)解法一：过点A 作AE _ x 轴于点E , v 点B 的横坐标为1,(3)证明：••• O v a v 1,「. B 在A 的右边， 设 A ( a , 0), B (b , 0),T ax 2+(— 1 — a ) x +仁0,由根与系数的关系得:-------- 2 1 _ a••• AB = b — a= (b " a)2 _4ab = —a把y=1代入抛物线得：ax 2+(— 1 — a ) x +仁1, a + b=L2 , abJ ,a a解得：X 1=o , X 2=——a , • CD=——a ,a a过P 作MN 丄CD 于M ，交X 轴于N ,贝U MN 丄X 轴, •/ CD // AB ,PM CD• . 1, • PN= —PM=S1-5=4_ a1 1 _a 1 ~a * c c—-?(- =12 a 2二 BF 二一又 .AOB 二 90，易知 AOE 二 OBF ，又.AEO 二 OFB 二 90 ,•••△ AEOOFB ,• AE =OF =1 =2 • AE =20E ....... 5 分OE -帝"T -2、 1 2 1 1 2设点 A ( —m , — m ) ( m >0)，则 OE = m , AE =丄m 2, • — m = 2m2 2 2 • m=4，即点A 的横坐标为-4. ......... 6分解法二：过点A 作AE _ x 轴于点E , 一 1T 点B 的横坐标为1 ,• B （1 ,）, ......... 4分2_ OF 1…tan 三 OBF2BF 12v AOB =90，易知 AOE 二.OBF ,AE tan Z AOE =tan ./OBF =2,.・. AE = 2OEOE、 1 2 1 2 1 2 设点 A (-m ，—一m ) ( m>0)，则 OE = m , AE = — m ,• —m= 2m2 2 2(3)解法一：设 A ( -m , -1 m 2)2(m >0), B ( n 1 2 n 2)(n 0),设直线AB 的解析式为：y = kx • b ,r r -mk b 则1 2 m 2(1)nk 亠b = 1 2 n 2(2)• m=4，即点A 的横坐标为-4.......... 6分7分1 1(1) n (2) m 得，(m n)b(m 2n mn 2) mn(m n) , • b2 21 mn 2又易知△ AEO OFB ,2AE OE 0.5m m '八,•2 , •mn = 4 ............ 9 分OF BFn0.5 n 2• b = -1 4 = -2 •由此可知不论k 为何值，直线 AB 恒过点（0 , -2）2 10分解法二：设 A ( -m , -!m 22m>0), B ( n , _丄门2) ( n >0),2n 1 n 2J OC m 1 OC n , 2 2 21 OC mn . 2穿缶，•mn =4••• OC =2为固定值•故直线AB 恒过其与y 轴的交点C ( 0, - 2)说mn 的值也可以通过以下方法求得_22〔4 22〔42 2121 2 2OA 2=m 2m 4， OB 2= n 2n 4， AB 2=(m 亠n)2」( m 2n 2)，442 2由 OA? OB? = AB?，得：(m 2亠】m 4)亠(n 2亠1 n 4) =(m 亠n)2亠(-】m 2亠1 n 2)2，4 4 2 2 化简，得mn =4.5. ( 2011?可北)如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒(t > 0),抛物线y=x+bx+c 经过点O 和点P ,已知矩形ABCD 的三个顶点为 A (1, 0), B (1 , -5), D (4, 0).(1) 求c , b (用含t 的代数式表示)： (2) 当4V t V 5时，设抛物线分别与线段AB , CD 交于点M , N .① 在点P 的运动过程中，你认为 / AMP 的大小是否会变化？若变化， 说明理由；若不变，求出 / AMP 的值；② 求△ MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求 t 为何值时，要S=^;8(3) 在矩形ABCD 的内部(不含边界)，把横、纵 坐标都是整数的点称为 “好点” •若抛物线将这些 “好点”分成数量相等的两部分， 请直接写出t 的取值范围. 考点：二次函数综合题。