概率统计知识要点 一、统计1 .总体与样本：所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分各题叫做总体的一个样本，样本中各题数目叫做样本的容 量。
例如：全班同学的身高数据构成一个总体，其中每一个同学的身高叫做个体，现 10个同取出学的身高进行研究，10个同学的身高数据就是全班同学身高数据这个总体的一个样 10就这 本， 是这个样本的样本容量。
2. 众数，中位数众数：一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数。
例如：10, 11 , 15, 11, 13, 12, 15, 10, 11, 11, 15 这一组数据中，11 出现了 4 次，次数最 多，所以11就是这组数据的众数。
中位数：将一组数据按从大到小的顺序依次排列，处在最中间位置的数据叫做中位数；需要注 意的是，如果数据的个数是偶数个，则中位数是中间两个数字的算术平均值。
例如：18, 17, 15, 13, 13, 10这一组数据中，因为数据的个数是偶数个，所以中位数是中间两个数的算术平均值，就是15和13的平均数14。
..3.求平均数的两个公 二 -------------------式(1 ) n 个数 X 1、X 2,,X n 的平均数为：XX 1X 2Xn ；— -( = ---------------nX n 出现了 f n 次，则这组数据的2)如果在n 个数中，X 1出现了 f 1次，X 2出现了 f 2次,,平4. 极差与方差(1) 一组数据中，用这组数据的最大值减去最小值所得的差就是极差，极差是用来反映这组数ZJZOff=最大值-最小值； 2 2X 1X X 2Xn方差是用来表示一组数据的集中程度的统计量5. 常用统计图(1)扇形统计图：扇形统计图中的圆心角等于这部分所占总体的比例乘以360 °;2) 条形统计图均数为：xxf 1 X 2f 2 f 1 f 2X fn nf n据的变化范围的统计量，即：极差(2) 一组数据的方差为：s 21 2 X n X3) 折线统计图6 .频数和频率⑴频数：每个对象出现的次数⑵频率：每个对象出现的次数与总次数的比值⑶频数、频率均能反映每个对象出现的频繁程度.二、概率1 .概率的定义表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事物的概率，可记作“P”.2 .可能还是确定⑴“不可能”发生：指每次都完全没有机会发生，即发生的机会是0.⑵“必然”发生：指每次一定发生，即发生的机会是100%.⑶可能发生：指有时会发生，有时不会发生，即发生的机会介于0和100%之间，但不包括0和10 0%.⑷“不太可能”：指发生的机会很小，可以小到很小，但仍然会发生，即它的可能性不是0.3.估计随机事件发生的概率的方法⑴通过多次重复试验的方法；⑵通过逻辑分析用列举法（包括列表、画树状图）计算的方法.4.频率与概率的关系频率与概率在实验可以非常接近，但不一定相等.5.实例⑴投针实验投针实验力图使学生通过亲身的实验、统计过程获得用实验方法估计复杂事件发生的概率的体验，使扎实的认识到当实验次数较大时实验频率稳定于理论概率，但在投针实验中须注意要从一定高度随意抛针，保证投针的随机性.⑵游戏公平吗看一个游戏是否公平，只要看游戏的双方是否各有50%赢的机会，如果不是，那么这个游戏就是不公平的，要想使它变成公平，就要修改游戏规则.一个公平的游戏，出现双方可能性的机率是相等的.有的游戏可以通过试验，也可以用列表的形式进行穷举.典例解析1. （2011广东广州市，22, 12分）某中学九年级（3）班50名学生参加平均每周上网时间的调查，由调查结果绘制了频数分布直方图（图6）,根据图中信息回答下列问题：（1）求a的值；（2）用列举法求以下事件的概率：从上网时间在6〜10小时的5名学生中随机选取2人, 其中至少1人的上网时间在8〜10小时.解：（1）a=50 - 6 -25 - 3 - 2=14(2)设上网时间为6〜8小时的三个学生为A i, A2, A B,上网时间为8〜10个小时的2名学生为Bi，B2,则共有A1A2, A1A3, A1B1, A1B2,A2A3, A2B1，A2B2A3B1，A3B2B1B210种可能，其中至少1人上网时间在8~10小时的共有7种可能，故P (至少1人的上网时间在8~10小时)=0.72. (2011四川南充市，16，6分) 在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1, 2, 3, 4.随机地摸取出一张纸牌然后放回，在随机摸取出一张纸牌(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率;(2)甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜。
这是个公平的游戏吗？请说明理由解：用树状图法(1) 两次摸取纸牌上数字之和为 (2) 这个游戏公平，理由如下:5 (记为事件41A )有 4 个，P(A)== 16 4第一次：1 两次摸出纸牌上数字之和为奇数（记为事件 B ）有 8 个，P （B ）= 8 =J16 2 两次摸出纸牌上数字之和为偶数（记为事件C ）有 8 个，P （C ）= 8 = 116 2两次摸出纸牌上数字之和为奇数和为偶数的概率相同，所以这个游戏公平3. （2011宁波市，20，6分）在一个不透明的袋子中装有 3个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球1个，摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，请用列表 或树形图法求两次都摸到红球的概率.【答案】解：树形图如下:解法二: 列表法 列表如 下：.3由上表可以看出，摸取一张纸牌然后放回，再随机摸取出纸牌，可能结果有 16种，它们出现的可能性相等列表如下:次都4. （2011浙江衢州，20,6 分）研究问题：颜色不一样的红球于黄球一个不透明的盒中装有若干个只有.这样估算不同颜色球的数量？操作方法：行摸球实验先从盒中摸出.摸球实验的要求：先搅8个球，画上记号放回盒中，在进拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中再继续活动结果：摸球实验活动一共做了球的颜色无记号有记号50次，同级结果如下表：红色黄红黄色色色摸到的次数182822推测计算：有上述的摸球实验可推算: 盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少? 盒中有红球多少个?黄球所占百分比为30 50 60%答：红球占40%黄球占60%(2)由题意可知，50次摸球实验活动中，出现有记号4次，所以总球数为的球8 100。
所以红球数100 40% 40。
答：盒中红球40个。
为有4跟踪训练14, 3分)在一个不透明的口袋中，.(2011广东东莞， 装有颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概 率为(A . 1B .1C. 5D. 353 8 828, 4 分)从1,2,-3三个数中 ,随机抽取两个数相,积是正数的概. (2011福建福州，乘■率是()A. 0B. 1C. 2D. 13334, 3 分) 四张质地、大小、背面完全相同的卡片. (2011山东滨州，上,止面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四 一现把它们的正面向下随机摆放在个图案桌面上,从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率解：(1)由题意可知;所以红球所占百分比为30次，力1 =20 50 40%50次摸球实验活动中，出现红球20次，黄球3个白球，它们5个红球除)45 -.(2011山东泰安，球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编为( )11 3A.B.C.D.142448, 3分)两个正四面体骰子的各面上分别标明数1,2,3,4 ，如同・ (2011山东日照，字时投掷这两个正四面体骰子， 则着地的面所得的点数之和等于5的概率为()(A) 1(B) 3(C) 3(D)31616, 3分)袋中装有编号为1, 2, 3的三个质地均匀、大小相同的号相同的概率为1 A. 91B.61C.31D.26 （2011浙江金华，14, 4分）从—2,— 1, 2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是7. （2011浙江省舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序 号是3的倍数的概率是8. （2011福建福州，12, 4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7.如果宇 宙中飞来一块陨石落在地球上 ，则落在陆地上的概率是9. （2011山东德州 15,4分）在 4张卡片上分别写有1~4的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是----------10. （2011山东菏泽，13, 3分）从一2、一 1、0、1、2这5个数中任取一个数，作为关于 x 的一元二次方程x 2 x k -0的k 值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 --------------------11. （2011山东济宁，14, 3分）某校举行以“保护环境，从我做起”为主题 的演讲比赛.经预赛，七、八年级各有一名同学进入决赛，九年级有两名同学进入 决赛.前两名都是九 年级同学的概率是.12. （2011山东泰安，24, 3分）甲、乙两人在5次体育测试中的成绩（成绩为整数，满分为100分）如下表，其中乙的第5次成绩的个位数字被污损则乙的平均成绩高于甲的平均成绩的概率是第1次 第2次第3次 第4次 第5次甲90 88 87 93 92 乙84878598915,4分）如图，在两个同心圆中,四条直径把大圆分成八等份，若14 （2011浙江温州，21, 10分）一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同.（1） 求摸出1个球是白球的概率；（2）摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出 1个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的13. （2011山东烟台, 往圆面投掷飞镖， 则飞镖落在黑色区域的概率是概率（要求画树状图或列表）；(3) 现再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为5,求n的值.715. (2011四川重庆，23，10分)为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：(1) 求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；(2) 某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名留守儿童来自同一个班级的概率.16. ( 2011江西，18, 6分)甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，⑴请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；⑵若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。