【补充练习】
1.判断正误:
(1)空集没有子集. ( )
(2)空集是任何一个集合的真子集. ( )
(3)任一集合必有两个或两个以上子集. ( )
(4)若B⊆A,那么凡不属于集合A的元素,则必不属于B. ( )
分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题,只有(4)是正确的,其余全错.
对于(1)、(2)来讲,由规定:空集是任何一个集合的子集,且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲,可举反例,空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A,则x∉A时也必有x∉B.
2.集合A={x|-1<x<3,x∈Z},写出A的真子集.
分析:区分子集与真子集的概念,空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的子集有2n 个,真子集有2n-1个,则该题先找该集合元素,后找真子集.
解：因-1<x<3,x∈Z,故x=0,1,2,
即a={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2}.
真子集:∅、{1}、{2}、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.
3.(1)下列命题正确的是( )
A.无限集的真子集是有限集
B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集
D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中,错误的个数为( )
①{1}∈{0,1,2} ②{1,-3}={-3,1} ③{0,1,2}⊆{1,0,2}
④∅∈{0,1,2} ⑤∅∈{0}
A.5
B.2
C.3
D.4
(3)M={x|3<x<4},a=π,则下列关系正确的是( )
A.a M
B.a∉M
C.{a}∈M
D.{a}M
分析:(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确,
无限集的真子集有可能是无限集,如N是R的真子集,排除A;由于∅只有一个子集,即它本身,排除B;由于1不是质数,排除D.
(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.
①应是{1}⊆{0,1,2},④应是∅⊆{0,1,2},⑤应是∅⊆{0}.
故错误的有①④⑤.
(3)M={x|3<x<4},a=π.
因3<a<4,故a是M的一个元素.
{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}M.
答案：(1)C (2)C (3)D
4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系:
(1)A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z};
(2)A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z}.
解：(1)因A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},故A、B都是由奇数构成的,即A=B. (2)因A={x|x=2m,m∈Z},B={x|x=4n,n∈Z},
又x=4n=2·2n,
在x=2m 中,m 可以取奇数,也可以取偶数;而在x=4n 中,2n 只能是偶数.
故集合A 、B 的元素都是偶数.但B 中元素是由A 中部分元素构成,则有B A.
点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P={x|x 2+x-6=0},Q ={x|ax+1=0}满足Q P,求a 所取的一切值.
解：因P={x|x 2+x-6=0}={2,-3},
当a=0时,Q ={x|ax+1=0}=∅,Q P 成立.
又当a≠0时,Q ={x|ax+1=0}={a 1-
},要Q P 成立,则有a 1-=2或a 1-=-3,a=21-或a=31. 综上所述,a=0或a=2
1-或a=31. 点评：这类题目给的条件中含有字母,一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+1=0无解,即Q 为空集的情况,而当Q =∅时,满足Q P.
6.已知集合A={x ∈R |x 2-3x+4=0},B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0},要使A P ⊆B,求满足条件的集合P.
解：由A={x ∈R|x 2-3x+4=0}=∅,
B={x ∈R |(x+1)(x 2+3x-4)=0}={-1,1,-4},
由A P ⊆B 知集合P 非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P 为
{1}或{-1}或{-4}或{-1,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{-1,1,-4}.
点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P 的元素,而做到这点,必须明确A 、B,充分把握子集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.设A={0,1},B={x|x ⊆A},则A 与B 应具有何种关系？
解：因A={0,1},B={x|x ⊆A},
故x 为∅,{0},{1},{0,1},即{0,1}是B 中一元素.故A ∈B.
点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.
8.集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},
(1)若B ⊆A,求实数m 的取值范围;
(2)当x ∈Z 时,求A 的非空真子集个数;
(3)当x ∈R 时,没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立,求实数m 的取值范围.
解：(1)当m+1>2m-1即m<2时,B=∅满足B ⊆A.
当m+1≤2m -1即m≥2时,要使B ⊆A 成立,
需⎩
⎨⎧>+-≥+51,121m m m 可得2≤m≤3.综上所得实数m 的取值范围m≤3. (2)当x ∈Z 时,A={-2,-1,0,1,2,3,4,5},
所以,A 的非空真子集个数为2上标8-2=254.
(3)∵x ∈R ,且A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},又没有元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立. 则①若B≠∅即m+1>2m-1,得m<2时满足条件;
②若B≠∅,则要满足条件有:⎩⎨⎧>+-≤+51,121m m m 或⎩
⎨⎧-<--≤+212,121m m m 解之,得m>4. 综上有m<2或m>4.
点评：此问题解决要注意：不应忽略∅;找A 中的元素;分类讨论思想的运用.。