2
2
（2）求函数 f x 的最小正周期及单调递增区间
10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数
f
x
cos2
x
cos2
x
3
（
xR
）．
（1）求 f x 最小正周期和单调递增区间；
（2）求
f
x 在区间
3
, 6
上的最大值和最小值．
习题答案： 1、答案：B
解析：由最小正周期可得：
12
,
0
D.
最小正周期为 2
，一个对称中心是
6
,
0
思路：
y
sin
x
12
cos
x
12
1 2
sin
2
x
6
2
T 2 对称中心： 2x k x k k Z
6
12 2
k
0
时，一个对称中心是
12
,
0
答案：A
例
5：函数
f
x
ln
sin
2
x
6
微专题 28 三角函数及函数 y Asin x 性质
一、基础知识：
1、正弦函数 y sin x 的性质
（1）定义域： x R
（2）值域： y 1,1
（3）周期： T 2
（4）对称轴（最值点）：
x k k Z
2
（5）对称中心（零点）： k ,0k Z ，其中 0,0 是对称中心，故 y sin x 也是奇函数
sin
2x
6
单调递增区间： 2k 2x 2k k x k k Z
2
62
3
6
单调递减区间：
2k
2x
3
2k
k
x
2
k
k Z
2
62
6
3
符合条件的只有 D
答案：D
例
2：函数
y
2
cos2
x
4
1 的一个单调递减区间为（
）
A.
2
,
3 2
B.
4
,
3 4
C.
2
,
2
D.
4
,
4
思路：先变形解析式，
y
2
cos2
x
4
1
cos
2
x
4
sin
2x
，再求出单调区间：
2k 2x 2k k x k k Z ， k 0 时，D 选项符合要求
2
2
4
4
答案：D
例
3：
y
sin
3
2x
的递减区间为（
y
2
sin
4x
6
的图像的两条相邻对称轴间的距离为（
）
A.
8
B.
4
C.
2
D.
思路：根据 y Asin x 图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半
T 2 ，所以间距为： 1 T
2
24
答案：B
例 8：已知函数 f x sin 2x a cos 2x 的图像关于直线 x 对称，则 a 的值为_______
（6）单调增区间：
2
2k , 2
2k
,k
Z
单调减区间： 2
2k , 3 2
2k
, k
Z
2、余弦函数 y cos x 的性质
（1）定义域： x R
（2）值域： y 1,1
（3）周期： T 2
（4）对称轴（最值点）： x k k Z 其中 x 0 是对称轴，故 y cos x 也是偶函数
6、（2014，安徽）若将函数
f
x
sin
2
x
4
的图像向右平移
个单位，所得图像关于
y
轴对称，则 的最小正值是__________
7、（2014，北京）设函数 f x Asin x （ A,, 是常数， A 0, 0 ）若 f x
在
区间
6
,
2
上具有
单调性
，且
f
2
f
通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下：
（1）定义域： x R
（2）值域： y A, A
（3）周期： T 2
（ 4 ） 对 称 轴 （ 最 值 点 ）， 对 称 中 心 （ 零 点 ）， 单 调 区 间 需 通 过 换 元 计 算 所 求 。 通 常 设
t x ，其中 0 ，则函数变为 y Asin t ，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与
2
，向右平移
6
个单位后解析式为
y
sin
2
x
6
，
即
y
sin
2x
3
，
由
奇
函
数
可
知
3
，所以
f
x
sin
2x
3
， 对 称 轴 ：
2x k k Z x k k Z ，
32
12 2
对称中心： 2x
3
k
k Z
x
6
k 2
k
Z
，即
6
k 2
,
0
，配合选项可
得 B 正确 2、答案：D
C.
f
x
图像关于点
6
,
0
对称
D.
f
x 在区间
3
,
7 12
上是增函数
思路：先判断 f x 的周期，可结合图像进行判断，可得：T ；对于对称轴，对称中心，
2
单调区间，可考虑设 t 2x ，即 y sin t ，借助图像先写出 t 所符合的条件，再求出 x 的 3
值（或范围）即可。
k
, 2
（2）值域： y 0,1
（3）周期： T
（4）对称轴： x k k Z
2
（5）零点： x k k Z
（6）单调增区间：
k
, 2
k
,
k
Z
单调减区间：
2
k ,k
,k
Z
5、 y Asin x A 0 的性质：此类函数可视为正弦函数 y sin x 通过坐标变换所得，
上单调增，所以
2
2
，即 0
1 ；另一方面，
y sinx 的 对 称 轴 为 x k x k k Z ， 所 以 k 3 解 得 k ， 再 结 合
3
0 1 可得 1 , 2 ,1 33
答案：
1 3
,
2 3
,1
三、近年好题精选
1、函数
f
x
sin
x
0,
2
对称轴： t k 2x k x k k Z ，不是偶函数
2
32
12 2
对称中心： t
k
2x
3
k
x
6
k 2
k
Z
，关于点
6
,
0
对称
单调增区间：
2k t 2k 2k 2x 2k k x k k Z
2
32
6
12
答案：C
例
7：函数
f
x1 g x2
2 的 x1, x2 ，有
x1 x2 min
，则 3
（
）
5
A.
12
B.
3
C.
4
D.
6
3、（2016，重庆万州二中）若函数
y
cos
2
x
与函数
y
sin
2x
在
0,
4
上的单调性相
同，则 的一个值为（
）
A.
6
B.
4
3
C.
4
3
D.
2
4、将函数
f
x
2sin x
3
0 的图像向左平移
）
A.
12
2k
,
5 12
2k
,
k
Z
B.
5 3
4k ,11 3
4k
,
k
Z
C.
5 12
k
11 ,
12
k
,
k
Z
D.
12
k
,
5 12
k
,
k
Z
思路：在解函数性质之前首先把
x
的系数变正：
y
sin
3
2x
sin
2x
3
，再求其
单调区间： 2k 2x 2k k x 5 k k Z ，由于 k Z ，
（6）单调增区间：
2
k , 2
k
, k
Z
注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的 x 的值
4、 y sin x 的性质：与正弦函数 y sin x 相比，其图像可以看做是由 y sin x 图像变换得
到（ x 轴上方图像不变，下方图像沿 x 轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域： x R
3
个单位，得到函数
y
g
x 的
图像，若
y
g
x
在
0,
4
上为增函数，则
的最大值为（
）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5、（2015，天津）一直函数 f x sinx cosx 0, x R ，若函数 f x 在 ,
内单调递增，且函数 f x 的图像关于直线 x 对称，则 的值为_______