高考三角函数1.特殊角的三角函数值：2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=3.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。

r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=xy (2)各象限的符号：sin α cos α tan αxy+O— —+x yO — ++— +y O— ++ —5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。

（2）商数关系：ααcos sin =tan α （z k k ∈+≠,2ππα）6.诱导公式：记忆口诀：2k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质降幂公式： 1+cos α=2cos 22α cos 2α22cos 1α+=1-cos α=2sin 22αsin 2α22cos 1α-= 9．正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===. 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±倍角公式 s in2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1 =1-2sin 2αααα2tan 1tan 22tan -=（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。

2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。

（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。

3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（3）△＝)sin(2sin sin 2C B C B a +＝)sin(2sin sin 2A C A C b +＝)sin(2sin sin 2B A BA c +；（4）△＝2R 2sin A sin B sin C 。

（R 为外接圆半径） （5）△＝Rabc 4； （6）△＝))()((c s b s a s s ---；⎪⎭⎫ ⎝⎛++=)(21c b a s ； （7）△＝r ·s 。

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。

（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理 R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；它们的变形形式有：a = 2R sin A ，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=。

5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。

r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。

（3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。

四．【典例解析】 题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=， 3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）A.． 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0150 答案 C例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

例2．（1）在∆ABC 中，已知23=a 62c 060=B ，求b 及A ； （2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解析：（1）∵2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)+-⋅⋅cos 045 =212(62)43(31)+- =8 ∴2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-==⨯⨯+b c a A bc ∴060.=A （2）由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ；cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈ 03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'= 例3．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。

.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==---,.46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。

例4．（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ， AC 的取值范围为 .答案 2)3,2(解析 设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC ACθθθθ=∴=⇒=由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，又01803903060θθ<-<⇒<<，故233045cos 22θθ<<⇒<<， 2cos 2,3).AC θ∴=∈例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足5cos25A =，3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解 （1）因为25cos25A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3AB AC ⋅= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22ABC S bc A ∆∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴=例6．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a ac ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.例7．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。