在高中数学中如何进行数学建模教学专题1 从列方程解应用题到数学建模专题2 韩信点兵的数学模型专题3 函数建模——容器中小的深度与注水时间的关系专题4 几何建模（一）——飞机飞行的最短路径专题5 几何建模（二）追截走私船问题专题6 有关复利的数学模型专题7 最值模型专题8 “命运的数学公式”专题9 中奖概率专题10 对策模型——嫌疑犯的选择专题11 水污染治理方案的比较专题12 “连环送”中的折扣问题专题13 水库中鼻坝高度与挑角的确定专题14 双瓶输液中的深度问题附录数学建模与中学数学在高中数学中如何进行数学建模教学数学模型是数学知识与数学应用的桥梁，研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养学生的创新意识和实践能力，加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义，现就如何进行高中数学建模教学谈几点体会。

一．要重视各章前问题的教学，使学生明白建立数学模型的实际意义。

教材的每一章都由一个有关的实际问题引入，可直接告诉学生，学了本章的教学内容及方法后，这个实际问题就能用数学模型得到解决，这样，学生就会产生创新意识，对新数学模型的渴求，实践意识，要求学生学完后尝试解决这一类问题。

（1）、一个木材贮运公司，有很大的仓库，用于贮运出售木材。

由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分贮存起来以后出售。

已知：该公司仓库的最大贮藏量为20万立方米，贮藏费用为：（a+bu）元/万立方米，其中：a=70,b=100,u为贮存时间（季度数）。

已知每季度的买进、卖出价及预计的销售量为：季度买进价（万元/立方米）卖出价（万元/立方米）预计销售量（万立方米）冬410 425 100春430 440 140夏460 465 200秋450 455 160由于木材不易久贮，所有库贮木材于每年秋季售完。

确定最优采购计划.(由于不能粘贴数学符号图片，所以没有解题)这是培养创新意识及实践能力的好时机要注意引导，对所考察的实际问题进行抽象分析，建立相应的数学模型，并通过新旧两种思路方法，提出新知识，激发学生的知欲，如不可挫伤学生的积极性，失去“亮点”。

二．通过几何、三角形测量问题和列方程解应用题的教学渗透数学建模的思想与思维过程。

学习几何、三角的测量问题，使学生多方面全方位地感受数学建模思想，让学生认识更多现在数学模型，巩固数学建模思维过程、教学中对学生展示建模的如下过程：1、现实原型问题2、数学模型3、数学抽象4、简化原则5、演算推理6、现实原型问题的解7、数学模型的解8、反映性原则列方程解应用题体现了在数学建模思维过程，要据所掌握的信息和背景材料，对问题加以变形，使其简单化，以利于解答的思想。

且解题过程中重要的步骤是据题意更出方程，从而使学生明白，数学建模过程的重点及难点就是据实际问题特点，通过观察、类比、归纳、分析、概括等基本思想，联想现成的数学模型或变换问题构造新的数学模型来解决问题。

例如：购房购车模型“自备款只需七万元人民币，其余由银行贷款，五年还清，相当于每月只需付1200元，就可拥有属于自己的住房。

”“首付三四万元，就可开走一辆桑塔纳车。

”报纸上此类广告比比皆是，买房与购车是未来消费的两大热点。

若考虑现金支付与银行贷款相结合的办法，利用数学建模方法为工薪阶层制定购房或购车的消费决策及还贷办法。

（由于不能粘贴数学符号图片，所以没有解题）三．结合各章研究性课题的学习，培养学生建立数学模型的能力，拓展数学建模形式的多样性式与活泼性。

在日常教学中注意训练学生用数学模型来解决现实生活问题；培养学生做生活的有心人及生活中“数”意识和观察实践能力，如记住一些常用及常见的数据，如：人行车、自行车的速度，自己的身高、体重等。

利用学校条件，组织学生到操场进行实习活动，活动一结束，就回课堂把实际问题化成相应的数学模型来解决。

如：推铅球的角度与距离关系；全班同学手拉手围成矩形圈，怎样围使围成的面积最大等，用砖块搭成多米诺牌骨等。

总之，只要教师在教学中通过自学出现的实际的问题，根据当地及学生的实际，使数学知识与生活、生产实际联系起来，就能增强学生应用数学模型解决实际问题的意识，从而提高学生的创新意识与实践能力。

第一章引论教学时数：2学时教学目标：了解数学建模的含义，数学建模的一般步骤，通过例子理解建模的有关环节，分析数学建模和列方程解应用题的差别。

教材分析：本节介绍了数学建模的含义，数学建模的一般步骤，并举例说明了建模的各个环节，最后给出了数学建模和列方程解应用题的差别，并简单介绍了建模竞赛的情况。

重点：建模的一般步骤。

难点：怎样建模教学过程一. 数学建模的含义数学建模是指：根据实际问题，在一定的假设下把问题归结为数学问题，求出数学问题的解并对解进行检验的全过程。

所归结的问题称为实际问题的数学模型。

注意：数学建模一般不是一蹴而就的，而是从实践到理论，再从理论到实践，不断反复修正（教材中说的“迭代”）以使模型最后与实际相符的过程。

二. 数学建模的一般步骤包括六个环节：建模准备，作假设，建立模型，模型求解，讨论和验证，模型应用。

各步骤的关系可以用下面的框图表示：特别要注意图中：当通过讨论和验证，数学模型的解和实际情况不符时，必须重新研究实际问题，修改假设并重新建立模型；只有当模型的结果和实际情况相符时，才可以进入下一步在实践中应用所得的数学模型，即考虑利用模型或作预测或求最佳方案或解释客观实际现象等。

要弄请各环节的含义各环节的含义：模型准备：了解实际问题的背景、建模的目的，收集数据和相关信息，了解决定事物性质和发展的各种量及其关系，找寻其变化的客观规律。

作假设：对各种量及其关系进行分析，抓住主要矛盾，忽略次要因素，对问题作出合理的假设。

注意所作假设不能太粗略，这样会使所归结的数学模型不能反映事物的主要性质，从而难以在实际中应用；假设也不能太复杂，即考虑的因素太多，这样会使得到的数学模型过于复杂，从而得不到解或求解太困难。

模型假设的恰当选择可能要经过多次反复才能达到。

假设是推导模型的理论基础和依据。

建立模型：根据问题的要求和假设，应用适当的数学方法把问题化为数学研究的对象即数学模型。

这里所用的数学方法会因人、因事而异。

不同的建模者，可能会选择他所熟悉的方法；不同的实际问题，可能适宜用不同的数学方法去研究。

模型可能是离散的，如归结为初等数学问题、规划问题、网络问题、马尔可夫链等；模型也可能是连续的，如归结为微积分问题、微分方程问题、变分问题等。

这里，最终判断模型优劣的标准是模型的结果是否合乎实际，是否合乎解决实际问题的要求，而不是把问题所含数学知识是否高深作为标准。

模型求解：对归结的数学问题利用恰当的方法求解。

有时可以求出解的表达式，有时只能求出数值解。

通常还把解的结果列表或画出图形。

大多数数学模型要使用计算机计算，这时要求能正确地使用各种软件。

讨论和验证：根据模型求解的结果，讨论得到的解是否和情况相符。

模型的各个环节都可能影响模型的结果，例如假设是否合适，归结为数学问题时推理是否正确，求解所用的方法是否恰当，数据是否满足一定的精确度要求等等，都应该在讨论的范围之内。

模型应用：在模型的结果符合实际的前提下，可以利用所的模型对实际问题作预测、寻优、分析、解释、决策等。

三. 通过例子理解建模的有关环节下面我们结合例 1 说明上述建模的有关环节：〔例1〕一个星级旅馆有150个客房。

经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到一些数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55％；每间客房定价为140元，住房率为65％；每间客房定价为120元，住房率为75％；每间客房定价为100元，住房率为85％。

欲使每天的收入最高，问每间住房的定价应是多少？要注意在例子中提到的情景和经分析后所作的三个假设之间的区别和联系。

假设一“每间客房的最高价为160 元”，这是原先情景中没有的。

这个假设使我们在下面求函数的最小值时能够确定自变量的范围。

同时要注意到这个假设是合理的，因为“无其它信息”。

假设二“住房率随房价下降而线性增长”也是原先情景中没有的。

这个假设可以使得我们可以具体地写出旅馆一天的总收入函数的表达式。

同时要注意到这个假设是合理的，其合理性容易从经理给出的数据中看出：房价每下降20 元，住房率就增加10 个百分点。

假设三“各间客房定价相等”的假设，一方面是由于情景中没有给出“各间客房定价不同”的信息，另一方面是为了计算的简便。

容易理解：如果各间客房定价不同将会使问题变得复杂而难以分析。

这三个假设在下面的建模过程中的作用已在上面文字中用蓝色标出。

其次要注意把实际问题归结为数学问题的过程。

首先设变量：以记旅馆的总收入，以记与160 元相比降低的房价，即房价为。

通过分析可以得到和的关系为注意这个表达式自变量的变化范围为.问题就变成求这就是问题的数学模型。

求解该数学问题。

这里应用配方法求得函数的最大值。

此时定价应为元。

最后是模型的讨论与验证。

教材中验证了得到的元确实是使总收入达到最大的房价。

在实际应用时，更重要的是上述结论是否符合实际。

例如现在的定价不是25 元，改按这种方法定价是否能使旅馆的总收入有所增加？实际每间客房的房价不同是否对总收入影响很大而不可忽略，从而我们这里的假设三不再成立等等。

四. 数学建模和列方程解应用题的差别作为中学教师，应该注意数学建模和列方程解应用题的差别。

两者初看起来都和实际问题有关，但是至少在三个方面有着质的差别：问题的起点不同：应用题的情景是经过数学教师加工提炼出来的，而数学建模面对的是实际问题本身。

作为数学建模的例子来说，上述例 1 的情景可以设想为：旅馆提出了如何提高旅馆总收入的问题，即最原始的实际问题是“房价如何定可以使旅馆的总收入达到最大？” 为解决这个问题，经过调查，从旅馆经理那里得到了一些以往房价与住房率的关系；接着在分析后作出例中的三个假设。

而对应用题来说，问题就从经理的数据和三个假设以后开始，即假设由题目给出。

这样，对应用题来说，假设是否合理是否符合实际是不需要考虑的。

而对数学模型来说，作出合理的假设是正确解决问题的一个至关重要的环节。

结果的讨论与验证不同：例如求方程根的问题，应用题会讨论在求解的过程中是否有失根或增根发生，根是否合乎题意等；数学模型除了需要讨论这些问题外，还要讨论求得的根是否合乎实际情况，有时还要根据实际情况讨论：当改变方程中的某些系数时，根会如何变化等。

解是否唯一不同：应用题的正确答案只有一个。

但对数学建模而言，由于人们对实际问题的认识不同、分析的角度不同、所具有的数学知识的背景不同，即使是对同一个实际问题，也会得到不同的数学模型。

判断数学模型的正确性只能看其结论是否符合实际情况，例如根据数学模型所计算的结果是否和已知的数据相符；根据数学模型对某些事物的发展所作的预测是否和事物后来的变化一致等等。