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上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷
课程代码 105208 课程序号
姓名 学号 班级
一、单选题(每小题2分，共计20分)
1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。
2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则*2A -=__-72__。
3. 设矩阵01000
010********A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。
4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2
26A A I +=，则
()
1
4A I -+=
2
2A
I - 。
5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。
6. 方程组12434
00x x x x
x ++=⎧⎨+=⎩ 的一个基础解系是 ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,0011 。
……………………………………………………………
装
订
线…………………………………………………
7. 设矩阵12422421A k --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，500050004A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭，且A 与B 相似，则=k 4 。
8. 123,,ααα是R 3的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛001100010 。
9. 已知413
1
210,32111
a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。
10. 设二次型222
12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5
4||<
t 。
二．选择题（每题3分，共15分）
1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。
(A) *
A A =; (B)1
*
A A -= (C)()
1T
A
A -=; (D) *T A A =
2. 矩阵 B 合同于145-⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪⎝⎭
(A) 151-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321;（C ）⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛112;（D ）121-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。
（A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。
4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。
（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。
5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组
AX O =的基础解系。
(A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ （C ）1231231224,6123,3αααααααα-+--+-+ （D ）1231212322,2,366αααααααα-+--+
三． 计算题（58分）
1．计算110000
2200
030
00001
1
1
1
1
D n n --=- （8分）
答案 ()!1+n
2．设3阶方阵A 、B 满足条件BA B A =+且120210002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，求B .（12分）
答案 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1000000
)
(2121
1
I A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=200
01012
12
1B 3．求12311000445(1,-1,2,4),(,2,1,2),(3,3,4,8),(1,,2,0),(,,,)ααααα====-=的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组表示。
（10分）
答案 3=r
极大线性无关组： 421,,ααα
4
15213,2αααααα-=+=
…………………………………………………装
订
线…………………………………………………
4．λ为何值时，下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求解。
1231231
2322122221
x x x x x x t x x x λλλ-++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩ （14分）
答案 )4()2(||2
λλ-+=A
（1） 当42≠-≠λλ且时，对任意t ,唯一解； （2） 当2-=λ时，对任意t , 无解；
（3） 当4=λ，0≠t 时,无解；
（4） 当4=λ，0=t 时, 无穷多解，
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11103/16/1k X
5．将二次型()2
2
2
123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++用正交变换法化为标
准型，并求出相应的正交变换。
（14分）
答案 )3(||2
-=-λλλA I ，
3,032,1==λλ
（1）:
02,1=λ
⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,01121ξξ
正交化：⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,01121ββ
…………………………………………………装
订
线…………………………………………………
单位化：⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=626161221211,0γγ
（2）33=λ：
,1113⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=ξ ,3
13131
3⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=γ
令P ),,(321γγγ=，做PY X =则2
33y f =。
四． 证明题（7分）
设n 阶实对称方阵A 满足3
2
452A A A I O -+-=，证明A 为正定矩阵。
答案
设λ为A 的特征值, 则由 3
2
452A A A I O -+-=得
025423=-+-λλλ
即()0)1(22=--λλ, 因此A 的特征值取值范围是1,2, 这表明A 的特征值大于
零, 因此对称矩阵A 为正定矩阵。