第2章条件概率与独立性一、大纲要求（1）理解条件概率的定义.（2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. （3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.（4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.二、重点知识结构图三、基础知识1.条件概率定义设有事件A B 、，且()0P B ≠，在给定B 发生的条件下A 的条件概率，记为(|)P A B ，有()(|)()P AB P A B P B =2．乘法公式定理若对于任意事件A B 、，都有()0,()0P A P B >>，则()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==这个公式称为乘法定理.乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形.定理设12,,,n A A A 为任意n 个事件（2n ≥），且121()0n P A A A -> ，则有121121312121()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --=3．全概率公式定理设12,,B B 为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有1ii B∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >=则对任一事件A ，有1()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑.4.贝叶斯公式定理设12,,B B 为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有1ii B∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >=则对任一具有正概率的事件A ，有1()(|)(|)()(|)k k k jjj P B P A B P B A P B P A B ∞==∑5.事件的相互独立性定义若两事件A B 、满足，则称A B 、（或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、；、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤ 成立：()()()i j i j P A A P A P A =（共2nC 个）()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =（共3nC 个）1212()()()()n n P A A A P A P A P A = （共nnC 个） 则称12,,n A A A 相互独立.定理设n 个事件12,,n A A A 相互独立，那么，把其中任意m （1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立.6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的n 次重复试验，称为n 重独立试验.定理（二项概率公式）设在一次试验中，事件A 出现的概率为()(01)P A p p =<<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好出现k 次的概率()n P k 为()(0,1,2,,)k k n kn n P k C p qk n -== 式中，1()q p P A =-= 四、典型例题例1掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率.解同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为6636n =⨯=.若设A ={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此时事件A 所包含的样本数为2612k =⨯=.设B ={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则AB ={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故121()363P A ==，5()36P AB =，()5(|)()12P AB P B A P A == 例2袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率. 解设i A ={第i 个人摸到黄球} (1,2)i =，则1202()505P A ==22112111922032()(|)()(|)()4954955P A P A A P A P A A P A =+=⨯+⨯= 例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率.解设i A ={第次命中}，B ={恰有一次命中}，C ={至少有一次命中}，则 （1）123123123()()()()P B P A A A P A A A P A A A =++0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）123()1()10.60.50.30.91P C P A A A =-=-⨯⨯=例 4 设三次独立试验中事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求事件A 在一次试验中出现的概率.解由于33319{1}1{0}1(1)27P k P k p ≥=-==--=解得13p = 例5 掷三枚均匀骰子，设A ={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}，B ={至少有一枚骰子掷出1}，问A B 、是否独立？解考虑(|)P A B ，若B 发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知B 发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即()(|)P A P A B <.由此可以推出()(|)P A P A B >，故A B 、不独立.例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设(|)0.99P =阳性带菌，(|)0.01P =阴性带菌 (|)0.05P =阳性不带菌，(|)0.95P =阴性不带菌设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？解设A ={某人检出阳性}，1B ={带菌}，2B ={不带菌}由题设知1212()0.83,()10.830.17,(|)0.99,(|)0.05P B P B P A B P A B ==-===，故所求的概率为111121()()(|)(|)()()(|)jjj P AB P B P A B P B A P A P B P A B ===∑0.830.990.980.830.990.170.05⨯==⨯+⨯例7 甲、乙两人独立地对同一个目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射中的概率.解设A ={甲射击一次命中目标}，B ={乙射击一次命中目标}，则所求概率为((()(|(()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB =+- ）)）=）0.60.750.60.50.60.5==+-⨯例8 已知男子中有5%是色盲患者，女子中有0.25%是色盲患者，若从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解设A ={抽到一名男性}；B ={抽到一名女性}；C ={抽到一名色盲患者}，由全概率公式得11()(|)()(|)()5%0.25% 2.625%22P C P C A P A P C B P B =+=⨯+⨯=1()()(|)5% 2.5%2P AC P A P C A ==⨯=由贝叶斯公式得()20(|)()21P AC P A C P C == 例9 有两箱相同种类的零件，第一箱装50个，其中10个一等品；第二箱装30个，其中18个一等品.今从两箱中任取一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任选一个，均不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率.解（1）设i A ={在第i 次中取到一等品}（1,2i =），i B ={挑到第i 箱}，则111112211181()(|)()(|)()0.452302P A P A B P B P A B P B =+=⨯+⨯=（2）由于1212111222()(|)()(|)()P A A P A A B P B P A A B P B =+191171810.194549229302=⨯⨯+⨯⨯= 故12211()0.194(|)0.485()0.4P A A P A A P A ===例10 设()0.10,(|)0.90,(|)0.20P A P B A P B A ===，求(|)P A B 解由于()()()()P B P AB AB P AB P AB ==+()(|)()(|)P A P B A P A P B A =+0.100.90(10.10)0.200.27=⨯+-⨯= 故()()(|)0.100.901(|)()()0.273P AB P A P B A P A B P B P B ⨯==== 例11 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20个，假设各箱有0，1，2个残次品的概率依次为0.8,0.1,0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4个，如无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则退回.试求（1）顾客买下该箱玻璃杯的概率α；（2）在顾客买下的一箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率β.解设A ={顾客买下玻璃杯}，i B ={箱中有i 只残次品}（i =0,1,2），由题意可知，012()0.8,()()0.1P B P B P B ===，则441918012442020412(|)1,(|),(|)519C C P A B P A B P A B C C =====（1）由全概率公式，得212448()()(|)0.810.10.80.10.94319475i i i P A P B P A B α====⨯+⨯+⨯⨯≈∑ （2）由贝叶斯公式，得000()(|)0.81(|)0.848448()475P B P A B P B A P A β⨯===≈ 五、课本习题全解2-1 （1）()()()()0.50.40.10.8;P A B P A P B P AB =+-=+-=（2）()0.1(|)0.25;()0.4P AB P A B P B === （3）()0.1(|)0.2;()0.5P AB P B A P A === （4）()()()0.50.12(|)0.66671()10.43()P AB P A P AB P A B P B P B --====≈--2-2 因为A B 、是独立事件，所以有()()(),()()(),()()()P AB P A P B P AB P A P B P AB P A P B ===（1）()()()(|)0.3;()()P AB P A P B P A B P B P B === （2）()1()1()()10.70.40.72;P A B P A B P A P B =-=-=-⨯= （3）()()()(|)0.4;()()P AB P A P B P B A P A P A === （4）()()()(|)0.7()()P AB P A P B P A B P B P B === 2-3 因为AB A A B ⊆⊆ ，所以()()()P AB P A P A B ≤≤又因为()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()()P AB P A P A B P A P B ≤≤≤+当A B ⊂时，第一个不等式中的等号成立； 当B A ⊂时，第二个不等式中的等号成立；当AB =∅时，第三个不等式中的等号成立.2-4 证明(())()()()()P A B C P AC BC P AC P BC P ACBC ==+-(()())()()()P A P B P C P AB P C =+- (()()())()P A P B P AB P C =+- ()()P A B P C =()()()()()()P ABC P A P B P C P AB P C == (())()()()()P A B C P ABC P A P B P C -==()()()()P AB P C P A B P C ==-所以，A B A B AB - 、、分别与C 独立2-5设A ={射手击中目标}，1A ={第一次击中目标}，2A ={第二次击中目标}，3A ={第三次击中目标}.有题意可知，0.6100k=，即60k =； 1112233()()()(|)()(|)()(|)P A P A P A P A A P A P A A P A P A A =+++6060600.60.40.410.832150150200⎛⎫=+⨯+⨯-⨯= ⎪⎝⎭2-6 设1A ={投掷两颗骰子的点数之和为偶数}，设2A ={投掷两颗骰子的点数之和为奇数}，1B ={点数和为8}，2B ={点数和为6}（1）66111111113333111665()5(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ===+； （2）11662222111133332116662()12(|)()18C C P A B P B A C C C C P A C C ⨯===+；（3）116622222116662()12(|)21()21C C P A B P A B P B C C ⨯===2-7 设A ={此密码能被他们译出}，则141421()0.6553534P A =+⨯+⨯⨯=2-8 1110101101()1(|),1()10C C P AB P B A P A C ===1110101110101()1(|)6()6C C P AB P A B P B C C ===2-9 设A ={第一次取得的全是黄球}，B ={第二次取出黄球、白球各一半}，则5552010155103025()0.1,(|)C C C P A P B A C C ===所以5551015201052530()()(|)C C C P AB P A P B A C C == 2-10 设1A ={第一次取得的是黄球}，2A ={第二次取得的是黄球}，3A ={第三次取得的是白球}，则1111213121112(),(|),(|)b b ca ab a bc a b cC C C P A P A A P A A A C C C ++++++=== 所以123121312()()(|)(|)P A A A P A P A A P A A A =1111112b b ca ab a bc a b cC C C C C C ++++++= 2b b c a a b a b c a b c+=+++++ 2-11 设A ={这批货获得通过}，B ={样本中恰有一台次品}，A ={这批空调设备退货}；D ={第一次抽的是合格品}，E ={第二次抽的是合格品}（1）67661474()()(|);70691610P A P D P E D ==⨯=（2）673367134()()(|)()(|);706970691610P B P D P E D P D P E D =+=⨯+⨯= （3）136()1()1610P A P A =-=2-12 设A ={选出的产品是次品}，1B ={产品是由厂生产}，B ={选出的产品是正品}（1）118241300042();3000C P A C +==（2）11811182418(|);42C P B A C +==（3）117821117821761782(|)2958C P B B C +==2-13 设A ={检验为次品}，B ={实际为正品}（1）()5%90%95%1%0.0545P A =⨯+⨯=； （2）()(|)95%1%(|)0.1743()0.0545P B P A B P B A P A ⨯===2-14 设A ={这位学生选修了会计}，B ={这位学生是女生} （1）()()(|)0.66%0.036P AB P B P A B ==⨯=；（2）()()(|)0.490%0.36P AB P B P A B ==⨯=； （3）((())()()P A P A B B P AB P AB =+=+）()(|)()(|)P B P A B P B P A B =+0.66%0.410%0.076=⨯+⨯=2-15 设A ={此人被诊断为患肺癌}，B ={此人确实患肺癌}（1）()98%3%(|)0.7519;()98%3%97%1%P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯ （2）()(|)3%2%(|)0.0001;2%3%97%99%()P B P A B P B A P A ⨯===⨯+⨯ （3）对于被检查者，若被查出患肺癌，可不必过于紧张，还有约25%的可能没有患肺癌，可积极准备再做一次检查.对地区医疗防病结构而言，若检查结果是未患肺癌，则被检查者基本上是没有患肺癌的.2-16 设A ={收到信息为0}，B ={发送信息为0}，则有(0.7(10.02)0.30.010.689P A =⨯-+⨯=）(0.7(10.02)0.686P AB =⨯-=） 所以(0.686686(|()0.689689P AB P B A P A ==））= 2-17 设1A ={这批计算机是畅销品}，2A ={这批计算机销路一般}，3A ={这批计算机是滞销品}，B ={试销期内能卖出200台以上}.根据题意有123()0.5,()0.3,()0.2P A P A P A ===123(|)0.9,(|)0.5,(|)0.3P B A P B A P B A ===（1）1111112233()((|(|)()((|((|((|P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++）））））））） 0.50.90.726;0.50.90.30.50.20.1⨯==⨯+⨯+⨯ （2）22()0.15(|)0.242;()0.62P A B P A B P B === （3）33()0.02(|)0.032;()0.62P A B P A B P B === （4）33(|)1(|)10.0320.968P A B P A B =-=-=2-18 设A ={硬币抛掷出现正面}，i B ={硬币是第i 个硬币} （i =1,2,3,4,5），B ={抛掷又出现字面}（1）125()()()()P A P AB P AB P AB =+++112255()(|)()(|)()(|)P B P A B P B P A B P B P A B =+++11111311101;545254552=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）11()(|)0()P AB P B A P A ==，2211()145(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 3311()125(|)1()52P AB P B A P A ⨯===，4431()345(|)1()102P AB P B A P A ⨯===， 551()25(|)1()52P AB P B A P A ===； （3）1111332()0010.75104521045P B =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 2-19 设1A ={一人击中}，2A ={两人击中}，3A ={三人击中}，B ={飞机被击落}.根据题意有1()0.40.5(10.7)0.60.50.30.60.50.70.36,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.5(10.7)0.40.50.370.60.50.70.41,P A =⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.50.70.14,P A =⨯⨯=123(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A ===所以112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯=2-20 设A ={这批元件能出厂}，则495()(4%0.0596%0.99)0.050.999999P A ⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ 4940.050.999898⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭ 0.8639=2-21 （1）设A ={这批产品经检验为合格品}，则1205124175()0.960.060.960.060.960.063252516162222P A ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭0.757=（2）设B ={产品真是合格品}，则12012170.960.960.96()3251622(|)0.982()0.757P AB P B A P A ⎛⎫⨯⨯+⨯+⨯ ⎪⎝⎭=== 六、自测题及答案1 设A 与B 为两事件，若()0P A >，且(|)()P B A P B =，则A 与B .2 设事件A 与B 满足()0.5P A =，()0.6P B =，(|)0.8P B A =，则()P A B = .3 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%和10%，从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为（）.（A ）23 (B) 13 (C)35 (D)254.每次试验成功的概率为p （01p <<），重复进行试验直到第n 次才取得r （1r n <<）次成功的概率是（）（A ）(1)r r n r n C p p --（B ）11(1)r r n r n C p p ---- （C ）(1)r n r p p --（D ）111(1)r r n r n C pp ----- 5．设事件A 与B 为互不相容事件，且()0P A >，()0P B >，则命题正确的是（）（A ）()0P AB =（B ）(|)1P B A =（C ）A 与B 独立（D ）A 与B 不独立6. 设A B 、为任意两个事件，且A B ⊂，()0P B >，则下列成立的是（）（A ）()(|)P A P A B <（B ）()(|)P A P A B ≤（C ）()(|)P A P A B >（D ）()(|)P A P A B ≥7.设A B 、满足(|)1P B A =，则（）（A ）A 是必然事件（B ）(|)0P B A =（C ）A B ⊃（D ）()()P A P B ≤8将一枚硬币独立地掷两次，设1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立9.设A B 、是两事件，且0()1P A <<，()0P B >，(|)(|)P B A P B A =，则必有（）（A ）(|)(|)P A B P A B =（B ）(|)(|)P A B P A B ≠（C ）()()()P AB P A P B =（D ）()()()P AB P A P B ≠10．设(),()P A a P B b == . 试证明：1(|)a b P A B b+-≥ 11．现有两种报警系统A 与B ，每种系统单独使用时，系统A 有效的概率为0.92，系统B 有效的概率为0.93.在A 失灵的条件下，B 有效的概率为0.85.试求：（1）在B 失灵的条件下，A 有效的概率；（2）这两个系统至少有一个有效的概率.12．设有分别来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出2份，试求：（1）求先抽到的一份是女生报名表的概率p ；（2）已知后抽到的一份是男生报名表，求先抽到的一份是女生报名表的概率q .13．甲袋中有9个白球和1个黑球，乙袋中有10个白球，每次从甲、乙两袋中随机地各抽取一球交换放入另一袋中，这样进行了三次，求黑球出现在甲袋中的概率.【答案】1．相互独立2．由()(|),()0.5()P AB P B A P A P A ==得 ()(|)()0.80.50.4P AB P B A P A ==⨯=于是()()()()0.50.60.40.7P A B P A P B P AB =+-=+-=3．A设i A ={抽到i 等品}（i =1,2,3），有123()0.6,()0.3,()0.1P A P A P A ===，故1311333()()0.62(|)1()10.13()P A A P A P A A P A P A ====-- 4． C 设A ={第n 次才取得r 次成功}；B ={前1n -次试验中有1r -次成功}；C ={第n 次成功}；则A BC =，又因为B 与C 相互独立，由伯努利公式()(1)k k n k n nP k C p p -=-(0,1,2,,)k n = ，得11111()()()()(1)(1)r r n r r r n r n n P A P BC P B P C C p p p C p p -------===-=- 5．由于AB =∅，故()0P A B =，又因为()()0P A P B >，即()()()P AB P APB ≠ .因此，A 与B 一定不独立. 又由于()()()()0(|)1()()()P AB P A P AB P A P B A P A P A P A --==== 所以应选B 项和D 项.6.由于A B ⊂，故AB A =,()1P B ≤,因此有()()(|)()()()P AB P A P A B P A P B P B ==≥ 所以应选 B 项.当()1P B =时，A 项不成立；当()1P B <时， C 项和D 项不成立.7.由于(|)1P B A =,即()()P AB P A =,因此，A B ⊂，故()()P A P B ≤,应选D 项.8.由于12341111(),(),(),()2224P A P A P A P A ====且121(),4P A A =131(),4P A A =231(),4P A A =241(),4P A A =123()0,P A A A =所以有 1212()()()P A A P A P A =，1313()()()P A A P A P A =2323()()()P A A P A P A =，2424()()()P A A P A P A ≠123123()()()()P A A A P A P A P A ≠故123,,A A A 两两独立但不相互独立，234,,A A A 不相互独立，更不相互独立，故选C 项.9.()()()(|)()(|)(|)()()1()()P AB P AB P AB P A B P B P B A P B A P A P A P A P A =⇒=⇒=- ()(1(|))()()()()()1()()1()P AB P A B P B P AB P B P AB P A P A P A P A --⇒=⇒=-- 从最后一式解出()()()P AB P A P B =,故选C 项.10. 由()()()()P A B P A P B P AB =+- ,0()1P A B ≤≤ ,得()()1()P A P B P AB +-≤ 又因为()()()1(|)()()P AB P A P B P A B P B P B +-=≥，故 1(|)a b P A B b+-≥ 11．由于()()()(|)0.851()()P BA P B P AB P B A P A P A -===-，因此 ()()0.85(1())0.930.850.080.862P AB P B P A =-⨯-=-⨯=(1)()()()0.920.862(|)0.8286;1()0.07()P AB P A P AB P A B P B P B --===≈- (2)()()()()0.920.930.8620.988P A B P A P B P AB =+-=+-=12.设i H ={报名表是第i 区考生}（i =1,2,3），j A ={第j 次抽到的报名表是男生表}（j =1,2），有1()(1,2,3),3i P H i ==11217(|)(|)10P A H P A H == 12228(|)(|)15P A H P A H ==，132320(|)(|)25P A H P A H == （1）3111137529()()(|)310152590i i i p P A P H P A H =⎛⎫===⨯++= ⎪⎝⎭∑ （2）121377(|)10930P A A H =⨯=122788(|)151430P A A H =⨯= 1235201(|)25246P A A H =⨯= 32211782061()()(|)310302590i i i P A P H P A H =⎛⎫==⨯++= ⎪⎝⎭∑ 31212117852()()(|)33030309i i i P A A P H P A A H =⎛⎫==⨯++= ⎪⎝⎭∑ 因此 121222()209(|)61()6190P A A q P A A P A ==== 13.设i A ={ i 次交换后黑球出现在甲袋中}（i =1,2,3），i A ={ 次交换后黑球出现在乙袋中} （i =1,2,3），则21211219911()()(|)()(|)0.8210101010P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯= 323223291()()(|)()(|)0.820.180.7561010P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=。