.习题1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随机变量，并求η的分布函数．证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξηe=也是随机变量．η的分布函数为}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η；当>y 时，)(ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<=因此，η的分布函数为⎩⎨⎧≤>=00),(ln )(y y y F y F ξη． 3．假定一硬币抛出正面的概率为(01)p p <<，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．解：（1）}{k =ξ表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出现反(正)面，据题意知，p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k所以，抛掷次数ξ的密度阵为22112322(1)(1)k k kp p p p pp p p--⎛⎫ ⎪ ⎪---+-⎝⎭(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ++++++++=--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533)1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq221111q qp p pq -⋅+-⋅=)1(1)1(1q p qp q p pq +⋅++⋅= qq p p +++=114．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}32{RP >ξ．解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为}{)(x P x F <=ξ当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =；当0x R <<时，2222}{)(Rx R x x P x F ==<=ππξ；当x R ≥时， ()1F x =故ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x Rxx x F ,10,0,0)(22．95941)3/2(1)32(1}32{22=-=-=-=>R R R F R P ξ．5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数．解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =； 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为()(){}{}1arccos(1,1122R xF x F P R ππξππ--=-∞=<===；当裂纹距离地面高度为x()01x <<时，分布函数为1x =R()(){}{}()2arccos 1,2x RF x F x P x R ξπ-=-∞=<=()arccos 1x π-=()arccos 1x ππ--=；当裂纹距离地面高度为(12)x x <<时，分布函数为()(){}{}()()22arccos 1arccos 1,2x R x F x F x P x R ππξππ--⎡⎤--⎣⎦=-∞=<==； 当2>x时， ()1F x =；则ξ的分布函数为 ()()00arccos 10212x x F x x x ππ≤⎧⎪--⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩6．已知随机变量ξ的密度函数为(),01,2,1 2.xx p x x x <≤⎧=⎨-<≤⎩试求：(1) ξ的分布函数，（2）{}0.2 1.2P ξ<<．解：（1）当0≤x 时，00)()(===⎰⎰∞-∞-dt dt t p x F xx；当01x <≤时，221)()(x dt t dt t p x F xx===⎰⎰∞-； 当12x <≤时，12212)()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t dt t dt t p x F x x ；当2x>时，12)()(2110=-+==⎰⎰⎰∞-dt t dt t dt t p x F x ；则ξ的分布函数为()220,0,1,01,2121,12,21,2.x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪>⎩（2）{}0.2 1.2P ξ<<{}{}1.20.2P P ξξ=<-<=()()1.20.20.66F F -=7．设)()(a x e e x p --=，0x >（1）求a 使()p x 为密度函数；（2）若ξ以此()p x 为密度函数，求b 使b b P =>}{ξ．解：（1）由密度函数的性质，知ea a x e a x e e e e e dx e dx x p 101)(1)(0)(=∞-===--∞--∞∞-⎰⎰ 解得，1a e=． （2）【法一】根据概率的非负性，0≥b ，当0=b 时，1}{=>b P ξ，显然b b P =>}{ξ不成立；当>b 时，()1()1(11)(}{be e x e bex e bee b e edx edx x p b P ---∞--∞=∞-===>⎰⎰ξ而b b P =>}{ξ，即b eee b e =--)1(1， 解得，1be=． 【法二】ξ的分布函数为()10,0,111,.e x e x F x e e x ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩{}{}()11P b P b F b b ξξ>=-<=-=当0b ≤时，()0Fb =，上式不成立．当0b ≥时，()111e b e F b ee ee⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+ 则1111e b e e e b ee⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=， 解得，1b e=． 8.设()F x 是连续型分布函数，试证对任意a b <有[]()()F x b F x a dx b a +∞-∞+-+=-⎰.证：等式左边=()x bx ap t dtdx +∞+-∞+⎰⎰=(())x bx ad F t dx +∞+-∞+⎰⎰因()F x 是连续的分布函数则上式积分可以交换．则上式交换积分次序得(())x bx a d F t dx +∞+-∞+⎰⎰(())x bx ad F t dx ++∞+-∞=⎰⎰(()())x bx aF F dx ++=+∞--∞⎰1x bx adx ++=⎰b a =-．习题1．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数．解：令ξ表示命中次数，这是n =20重Bernoulli 试验，每次命中率p =，命中次数ξ服从B(20,分布．(1) 至少命中一次的概率200020)1(1}0{1}1{1}1{p p C P P P --==-=<-=≥ξξξ988.0)2.01(2.0120020≈--=C ．(2) 至多命中两次的概率}2{}1{}0{}2{=+=+==≤ξξξξP P P P182220191120200020)1()1()1(p p C p p C p p C -+-+-=182220191120200020)2.01(2.0)2.01(2.0)2.01(2.0-+-+-=C C C 206.0≈． (3) 在二项分布中， ])1[(p n k+=时，}{k P =ξ最大，故]2.0)120[(⨯+=k=4时最大，即最可能命中的次数为4次．2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷n 次的概率．解：掷一枚骰子出现6点的概率是16，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为16×16，其中一个是6点的概率为2×16×56．因此掷两枚骰子出现6点的概率是1136． 以ξ表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷n次则前1-n 次都没有出现6点，于是所求概率为1)36111)(3611(}{--==n n P ξ． 3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令ξ表示3名董事代表对提案的赞成数，则)6.0,3(~B ξ分布．多数赞成，即}3{}2{}2{=+==≥ξξξP P P3331223)6.01(6.0)6.01(6.0-+-=C C648.0≈令η表示5名董事代表对提案的赞成数，则)6.0,5(~B η分布．多数赞成，即}5{}4{}3{}3{=+=+==≥ηηηηP P P P55514452335)6.01(6.0)6.01(6.0)6.01(6.0-+-+-=C C C68256.0≈因此，请5名董事代表好．4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为与，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经i 场(i =4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率i p ．再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？解：令ξ表示甲成为冠军所经过比赛的场数． 对甲先胜四场为冠军：}{i =ξ表示前1-i 场中胜三场，第i 场必胜．则1296.0)6.01(6.0}4{0444≈-==C P ξ20736.0)6.01(6.0}5{1434≈-==C P ξ20736.0)6.01(6.0}6{2435≈-==C P ξ165888.0)6.01(6.0}7{3436≈-==C P ξ因此，4431)6.01(6.0}{---==i i C i P ξ，i =4,5,6,7对甲先胜四场成为冠军的概率是7102.0}7{}6{}5{}4{}4{==+=+=+==≥ξξξξξP P P P P ．对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则288.0)6.01(6.0}3{1212≈-==C P ξ．因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大．5．对n 重Bernoulli 试验中成功偶数次的概率n P ． 解：记p 为一次Bernoulli 试验中事件成功的概率，q 为失败的概率． ++=-22200n n n n n q p C q p C P由11100)(1qp C q p C q p C q p n n n n n n n n +++=+=-①1100)()(q p C pq C q p C p q n n n n n n n n -++-=--②（①-②）/2得： 2)(1nn p q P --=7．在可列重Bernoulli 试验中，以i ξ表第i 次成功的等待时间，求证12ξξ-与1ξ有相同的概率分布．解：这是一个几何分布．12ξξ-表示第一次成功到第二次成功的等待时间．如果第一次成功到第二次成功进行了m 次试验，而第一次成功进行了n 次 试验．根据几何分布的无记忆性可得：p p m P m 112)1(}{--==-ξξ,p p n P n 11)1(){--==ξ因此，12ξξ-与1ξ有相同的概率分布．8.（广义Bernoulli 试验）假定一试验有r个可能结果r A A ,,1 ，并且0)(>=i i p A P ，121=+++r p p p ．现将此试验独立地重复n 次，求1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次(0>i k ，n k k k r =+++ 21)的概率．解：设一次试验的可能结果为r A A ,,1 ，它们构成一完备事件组，()i iP A p =，1iip=∑，则在次重复独立试验中rA A ,,1 分别出现12,,,rk k k 次的概率为r k k k r p p p k k k n 21!!!!21 ．（1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次，则i A 组成n 元序列，上述n 次试验结果由分成r 组，共有rrk k kkn k n C C C 211-种结果，每种结果出现的概率是rk k k pp p 21，则n 次Bernoulli 试验中1A 恰出现1k 次，……，rA 恰出现rk 次(0>i k ，nk k k r =+++ 21)的概率概率是r rk k k k n k nCCC 211-rk k k pp p 21r k k k r p p p k k k n 21!!!!21=）Poisson 分布1．假定螺丝钉的废品率015.0=p ，试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%．解：设每盒应装100+k 只，为使每盒有100只以上的好钉，则每盒次品的个数ξ应≤k-1，故8.0)1(}1{100101001≥-=-≤=-+-=+∑i k i k i i k p p C k P p ξ 由于k 值不大，有)100(k +015.0⨯≈,5.110!5.1--=∑e i k i i ≥,查表，当11=-k时, 1p =；当21=-k 时, 1p =,则k =3时，满足题设条件，故每盒中应装103只．2．据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数7=λ的 Poisson 分布．问月初应库存多少台电视机，才能以的概率保证满足顾客对电视机的需求．解：设月初应当库存电视机台数为η，则每月出售的电视机台数ξ，要满足顾客的要求，则999.0)1(0=--=∑i n i ni i np p C,即999.0!0=-=∑λλe i ni i．查表得： 当n =15时，997553.0!0=-=∑λλei n i i；当n =16时，999001.0!0=-=∑λλe i ni i；因此，月初应当库存16台电视机才能以的概率保证满足顾客对电视机的需求．3．保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期内死亡的概率为．现出售这种保险单1200份，求保险公司至多赔付10份的概率．解：保险公司赔付的份数ξ服从n =1200,p =的二项分布．根据Poisson 定理，ξ服从参数为6005.01200=⨯=λ的Poisson 分布．=≤}10{ξP ∑=-106!k ke k λ查表，得95738.0}10{=≤ξP ．4．假定每小时进入某商店的顾客服从200=λ的 Poisson分布，而进来的顾客将购买商品的概率均为，且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6位顾客在此商店中购物的概率．解：记每小时进入某商店的顾客数为ξ，则ξ服从200=λ的Poisson 分布．记每小时在商店中购物的顾客数为η，顾客购物概率为p ．以事件{}n =ξ, ,3,2,1=n 为分割，由全概率公式得，对于非负整数k , 有{}k P =η={}{}n k P n P n ===∑+∞=ξηξ|0=k n k knkn kq p Ce n --+∞=∑λλ!=k k n k n p e k k n q )(!)!()(λλλ-+∞=-∑- =()p k e p k λλ-!1{}pk k e k p P λλη-+∞=∑=≥6!)(6满足101==p λλ的Poisson 分布，查表，得{}93214.06=≥ηP ．8．假定非负整值离散型分布的密度{}k p 满足条件1-k kp p =kλ,k ≥1,其中常数λ>0，试证明分布是以λ为参数的Poisson 分布．解：1201p p p p ·····211λλ=-k k p p ·····kλ=!k kλ由此得：0!p k p kkλ=，并且00!p k k k ∑+∞=λ=1,可得0p =λ-e ，故λλ-=e k p kk !．因此，此分布是以λ为参数的Poisson 分布．重要的连续性分布1．设ξ服从区间(0,5)上的均匀分布，求二次方程24420x x ξξ+++=有实根的概率．解：由题意知，ξ的概率密度函数为105()5x p x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 若方程有实根，则2(4)44(2)0ξξ∆=-⨯⨯+≥，即220ξξ--≥， 解得，12ξξ≤-≥或．则}2{}1{}{≥+-≤=ξξP P P 方程有实根}2{1}1{<-+-≤=ξξP P2130155dx =+-=⎰． 3．假定随机变量ξ只取区间(0,1)中的值，且对任何10<<<y x ，ξ落在子区间(,)x y 内的概率仅与y x -有关．求证ξ服从区间(0,1)上的均匀分布．证法一：定义⎪⎩⎪⎨⎧∞∈∈<≤-∞∈=),1(,1]1,0(},0{]0,(,0)(x x x P x x F ξ则)(x F 是ξ的分布函数．由题设得对任意)1,0(2∈x 有}2{}0{x x P x P <≤=<≤ξξ，即有}0{2}20{x P x P <≤=<≤ξξ．由此得)(2)2(x F x F =．逐一类推可得，若)1,0(∈nx ，则)()(x nF nx F =，或者)()(1n x F x F n =．从而对有理数nm，若x n m 与x 都属于(0,1)，则有)(x F nmx n m F =⎪⎭⎫ ⎝⎛．再由)(x F 的左连续性可得，对任意无理数a ，若ax 与x 都属于(0,1)，则)()(x aF ax F =．因为区间(0,1)与]1,0[的长度相等，由题设得1}10{}10{)1(=≤≤=<≤=ξξP P F .由此及上段证明得，对任意)1,0(∈x 有x xF x F ==)1()(，即)(x F 为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F∴ ξ服从(0,1)上均匀分布．证法二：如同证法一中定义ξ的分布函数)(x F ，由)(x F 单调知它对(0,1)上的L －测试几乎处处可微．设)1,0(,21∈x x ，当)2,1)(1,0(=∈∆+i x x i时，由题设得}{)()(1111x x x P x F x x F ∆+<≤=-∆+ξ(}{222x F x x x P ∆+=∆+<≤=ξ等式两端都除以x ∆，再令0→∆x 可得，由)('1x F 存在可推得)('2x F 也存在，而且)('2x F )('1x F =．从而对任意)1,0(∈x有c x F ≡)('．当)1,0(∈x 时，显然有0)('=x F ．一点的长度为0，由题设得0}1{}0{====ξξP P ．由上所述可知ξ是连续型随机变量，)('x F 是其密度函数，从而定出1=c ．至此得证ξ服从(0,1)均匀分布．4．设ξ服从(3,4)N 分布．(1)求a使{}{}2P a P a ξξ>=<;(2)求b使{}30.95P b ξ-<=．解：由题意知，3μ=，2σ=（1）{}{}{}{}112P a P a P a P a ξξξξ>=-≤=-<=<得，{}31P a ξ<= {}13P a ξ<=即 31()23μ-Φ= ，311()23μ--Φ=， 即32()23μ-Φ=查表，得6664.0)43.0(=Φ，解得 2.14a =。