专题检测（二十二） 第20题解答题“圆锥曲线的综合问题”专练
1.(2018届高三·广东五校协作体诊断考试)若椭圆
x2a2＋y2b2
＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．
(1)求椭圆的离心率；
(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC
―→＝2
CB
―→，当
△
AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．
解：(1)由题意知，c ＋b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫
c －b 2，
所以b ＝c ，a 2＝2b 2， 所以e ＝c
a
＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2＝22.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)， 因为AC ―→＝2CB ―→
，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即y 1＝－2y 2， ①
由(1)知，椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ky －1，x2＋2y2＝2b2
消去x ， 得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， 所以y 1＋y 2＝2k
k2＋2
， ②
由①②知，y 2＝－2k
k2＋2，y 1＝4k
k2＋2，
因为S △AOB ＝12|y 1|＋1
2
|y 2|，
所以S △AOB ＝3·|k|
k2＋2＝3·1
2
|k|
＋|k|
≤3·
12
2
|k|·|k|＝
324
，
当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号， 此时直线l 的方程为x －
2y ＋1＝0或x ＋
2y ＋1＝0.
2．已知椭圆C ：x2a2
＋
y2b2
＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－3
4
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP
―→
·
OQ
―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围．
解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2， 则k 1＝y
x ＋4，k 2＝y
x －4
.
由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－3
4
，
整理得x2
16＋y212
＝1.
故椭圆C 的方程为x2
16＋y2
12
＝1.
(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
联立方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x216＋y2
12＝1，
y ＝kx ＋2
消去y ，
得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.
所以x 1＋x 2＝－16k 4k2＋3，x 1x 2＝－32
4k2＋3
.
从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→
＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1
＋x 2)＋4＝－80k2－524k2＋3＝－20＋84k2＋3
.
所以－20＜OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→
≤－523
.
当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→
的值为－20.
综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523.
3．已知椭圆P 的中心O 在坐标原点，焦点在x 轴上，且经过点A (0,23)，离心率为1
2
.
(1)求椭圆P 的方程；
(2)是否存在过点E (0，－4)的直线l 交椭圆P 于点R ，T ，且满足OR
―→·
OT
―→＝16
7
？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)设椭圆P 的方程为x2
a2＋y2
b2
＝1(a >b >0)，
由题意得b ＝2
3，e ＝c
a ＝1
2
，
∴a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴c 2＝4，c ＝2，a ＝4， ∴椭圆P 的方程为x2
16＋y2
12
＝1.
(2)假设存在满足题意的直线l ，易知当直线l 的斜率不存在时，OR ―→·OT ―→
<0，不满足题意．
故可设直线l 的方程为y ＝kx －4，R (x 1，y 1)，T (x 2，y 2)． ∵OR ―→·OT ―→＝167，
∴x 1x 2＋y 1y 2＝16
7
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx －4，x216＋y2
12
＝1消去y ，
得(3＋4k 2)x 2－32kx ＋16＝0， 由Δ>0得(－32k )2－64(3＋4k 2)>0， 解得k 2
>14
.①
∵x 1＋x 2＝32k 3＋4k2，x 1x 2＝16
3＋4k2
，
∴y 1y 2＝(kx 1－4)(kx 2－4)＝k 2x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16， 故x 1x 2＋y 1y 2＝16
3＋4k2＋16k2
3＋4k2－128k2
3＋4k2＋16＝16
7，
解得k 2＝1.② 由①②解得k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±x －4.
故存在直线l ：x ＋y ＋4＝0或x －y －4＝0满足题意． 4．(2018
届高三·云南
11
校跨区调研)已知椭圆E ：
x2a2
＋
y2b2
＝1(a >b >0)的离心率为方程2x 2－3x ＋1＝0的解，点A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 在E 上，且△ABC 面积的最大值为2
3.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝－4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 把△DMN 分为面积相等的两部分．
解：(1)方程2x 2
－3x ＋1＝0的解为x 1＝1
2
，x 2＝1，
∵椭圆离心率e ∈(0,1)，∴e ＝1
2
，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
c
a ＝1
2
，ab ＝23，
a2＝b2＋c2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝3，
∴椭圆E 的方程为x24＋y2
3
＝1.
(2)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (－4，n )，线段MN 的中点为P (x 0，y 0)， 故2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， 由(1)可得F (－1,0)，
则直线DF 的斜率为k DF ＝错误!＝－错误!，
当n ＝0时，直线MN 的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD 平分线段MN . 当n ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝3n ＝y1－y2
x1－x2，
∵点M ，N 在椭圆E 上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x21
4＋y21
3
＝1，x224＋y223＝1，
整理得错误!＋错误!＝0， 又2x 0＝x 1＋x 2,2y 0＝y 1＋y 2， ∴x02＋2y03·3n ＝0，即y0x0＝－n 4
， 即直线OP 的斜率为k OP ＝－n
4
，
又直线OD 的斜率为k OD ＝－n
4，∴OD 平分线段MN .
综上，直线OD 把△DMN 分为面积相等的两部分．。