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高中自主招生数学试卷
题号一
二
总
分
得
分
一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上）
1．若
21x
，则3
2
(22)(122)2x x
x 的值是
．
2．有6个量杯A 、B 、C 、D 、E 、F ，它们的容积分别是16毫升、18毫升、22毫升、
23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注满了酒精，有些量杯中注满了蒸馏水，
还剩下一
个空量杯，而酒精的体积是蒸馏水体积的两倍．那么注满蒸馏水的量杯是
．
3．各边互不相等的ABC ，两条高的长度分别为
4和12，若第三条高的长度也是整数，那
么这条高的长度等于．
4．如图
1,在
ABC 中, AB
AC ,
40A
,延长AC 到D ,使CD
BC ,点P 是
ABD 的内心,则
BPC
．
图1 图2 图3
5．
ABC 的三边长,,a b c 都为整数,且24a
bc b ca ,当ABC 为等腰三角形时,它
的三边边长分别为
．
6．如图2,凸五边形ABCDE 内接于半径为1的⊙O ,ABCD 是矩形,AE ED ,且BE 和
CE 把AD 三等分.则此五边形ABCDE 的面积是
．
7．方程2
0x
ax b
的两根为12,x x ，且3
3
2
2
1
2
1
2
12x x x
x x x ，则有序实数对
(,)a b 共有
对．
8．如图
3,正
EFG 内接于正方形ABCD ，其中,,E F G 分别在边,,AB AD BC 上，若
2AE EB
，则
BG BC
．
二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演
算步骤）
9．（本小题满分14分）如图，⊙
1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点B 的直线交⊙1O 与⊙
2O 于C 、D .弧BD 的中点为M ，AM 交⊙1O 于E ，交CD 于F ，连,,CE AD DM .
(1) 求证：AD EF DM CF ;
(2) 求证：
22
EF MF CE
MA
;
(3) 若5,7,2,4BC BD CF DF AM
MF ，求MF 和CE 的长.
10．（本小题满分14分）两个男孩曹俊和伍岳在
33棋盘上用黑棋子和白棋子对局，规则
如下：
（I ）他们轮流下子；（II ）每轮到一次，就把一个棋子放在棋盘的空格里；（III ）棋手轮到时，
可选择一白子或一黑子，并且不必要总用同色；
（IV ）当棋盘填满时，某一行、列或对角线
有偶数个黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子，伍岳就得1分；
（V ）棋手至少得到
8分中的5分，就算得胜．
（1）4:4和局是否可能？若可能
,请列出一种表格的情况；若不可能，请说明理由；
（2）叙述先下手的男孩的取胜策略．
11．（本小题满分16分）已知直线
12y
x 和y x m ，二次函数2
y x
px q 图象
的顶点为M
（1）若M 恰在直线12
y
x 和y
x
m 的交点处，证明无论m 取何实数值，二次函数
2
y x
px q 的图象与直线y
x m 总有两个不同的交点；
（2）在（1）的条件下，直线
y
x
m 过点)3,0(D ，二次函数2
y
x
px q 的图象
与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，在直线
1
2
y x上求异于M的点N，使N在
CMA的外接圆上.
2012安师大附中自主招生数学答案
1.2
2.A、C（或者填16毫升、22毫升）
3.5
4.145
5.6,6,1；4,4,2；3,3,3
6.53 4
7.38.
539
9.(1)
证明：连接AB ，
BCE BAE ,BM MD ,则
BAM DAM BDM C E F D M F
与中，CEF DMF .由,
ECF
MAD CEF
AMD
CEF AMD
△∽△CF EF AD MD 即AD EF DM CF
………………5分
（2）CEF DMF △∽△,有
EF MF CE
DM
，CEF AMD △∽△，有
EF MD CE
AM
22
EF MF MD MF CE
DM AM
MA ………………9分
（3）由题意3,4BF DF
,由相交弦定理可知：
BF DF
MF AF
123,2MF MF MF
,由（2）可得2
=64CE ，
8
CE ………………14分
10.解（1）4:4和局是可能的，结局如图
1 黑白黑白黑白黑
白黑
图1
……………
5分
（2）如果有0或2个黑子的行（列或对角线，下同）的数目超过4，曹俊就会得胜。
如果
有3或1个黑子，也就是有0或2个白子的行的数目超过
4，伍岳就会得胜。
由于曹俊（黑）
和伍岳（白）之间的对称性，只要考虑曹俊先下手的情形就够了。
曹俊把一个黑子放在中心上，然后，不管伍岳怎样下子，曹俊总是把不同色的棋子放在
关于中心对称的方格上。
这样，在他的后面4步中，每一步都保证有两条对角线之一或通过
中心的行或列有
2个黑子。
此外，至少还有另一行或另一列有
2个黑子。
事实上。
试考虑游戏的结局的棋盘，恰好有两角方格放着黑子，这两个黑子不能在对角上。
因此，棋盘实际上类似于图
2的样子：黑
1 白
黑
黑
2 白图2
方格1和2恰好有一个放黑子，它所在的一行有偶数个黑子。
……………14分
11（1）证明交点21,
33
M
m m ，此时二次函数为
2
21()3
3
y x
m m 2
2
4413
9
3
x
mx
m
m ，联立消去y ，得2
2
442(1)0
3
9
3
x
m x m
m 由
1可证
……………
7分
（2）
0,3D 带入直线方程，
3
(2,1)m M 2
(2)
1(1)(3)y
x x x ,
(0,3)(3,0)C A ,由勾股定理可知: CMA △为直角三角形，且CAM 为直角，MC 为CMA △外接圆的直径，设1(,)
2
N n n 0
90
CNM 2
2
2CN
MN CM ,2
2
2
1
(3)2CN
n
n ,2
2
21(2)
(
1)2
MN
n
n ,2
20
CM
解得12
6,25
n n .而2
2n 即是M 点的横坐标，不合题意，舍去。
63(,)55
P ……………16分。