2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值（ ）A ．52-B ．－1C ．0D ．22．已知集合，则A ．B ．C ．D ．3．若平面α和直线a ，b 满足a A α=，b α⊂，则a 与b 的位置关系一定是（ ）A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或异面4．已知函数()sin 3(0)f x x x ωωω=>，若方程()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A ．137(,]62B ．(72,256] C ．(,56211]2D ．11(,3726] 5．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为1．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23πC ．52πD ．2π6．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切7．由小到大排列的一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，其中每个数据都小于1-，那么对于样本1，1x ，2x -，3x ，4x -，5x 的中位数可以表示为（ ）A ．()2112x + B ．()2112x x + C ．()5112x + D ．()3412x x - 8．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ） A ．30B ．25C ．20D ．159．《五曹算经》是我国南北朝时期数学家甄鸾为各级政府的行政人员编撰的一部实用算术书.其第四卷第九题如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，问粟几何？”其意思为“场院内有圆锥形稻谷堆，底面周长3丈，高4尺，那么这堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的稻谷约有（ ）A ．57.08斜B ．171.24斛C ．61.73斛D ．185.19斛10．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．25311．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）A ．4B ．5C ．8D ．912．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为3π，弦长等于2的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（ ） A ．3B ．132+C ．11332- D ．233π- 二、填空题：本题共4小题13．设数列{}n a 满足11a =,24,a =,39a =,()1234n n n n a a a a n ---=+-≥，2019a =______.14．如图，以AB 为直径的圆O 中，2AB =，,,C D G 在圆O 上，AOD BOC ∠=∠，DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，EG FG =，记OAD ∆，OBC ∆，EFG ∆的面积和为S ，则S 的最大值为______.15．已知向量a 、b 的夹角为3π，且2a =，42b =，则a b -=__________． 16．若函数2sin ,0()61,0x x f x x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则((1))f f -=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，131cos ,sin sin 24B AC =-=，求角A 的值。

18．已知()3sin ,cos a x m x =+，()cos ,cos b x m x =-+，且()f x a b =⋅（1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值19．（6分）已知函数2()=--f x x bx c (,b c R ∈)，设函数()()g x f x =在区间[]1,1-上的最大值为M .(1)若1b c ==，求M 的值；(2)若≥M k 对任意的,b c 恒成立，试求k 的最大值.20．（6分）如图已知1AA ⊥平面ABC ，11BB AA ∥，3AB AC ==，25BC =，17AA =，127BB =，点E ，F 分别为BC ，1A C 的中点.(1)求证：EF //平面11A B BA ;(2)求直线11A B 与平面1BCB 所成角的大小.21．（6分）已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝3，设m =3-a 2b ，n =2k +a b ． （Ⅰ）若m ⊥n ，求实数k 的值；（Ⅱ）当k ＝0时，求m 与n 的夹角θ的大小．22．（8分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E ，F 分别是11B C ，AB ，1AA 的中点.（1）求证：EF 平面1A BD ；（2）若1111A B AC =，求证：平面1ABD ⊥平面11BB C C . 参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】线性规划问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z 的最值。

【详解】可行域如图所示，当目标函数平移到A ()0,2.5 点时z 取最小值52-， 故选A 【点睛】线性规划中线性的目标函数问题，首先画出可行域，再令z=0，画出目标函数，上下平移得到z 的最值。

2．B 【解析】 【分析】直接利用交集运算得到答案. 【详解】 因为，所以.故答案选B 【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 3．D【分析】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 【详解】当A b ∈时a 与b 相交，当A b ∉时a 与b 异面. 故答案为D 【点睛】本题考查了直线的位置关系，属于基础题型. 4．A 【解析】 【分析】先辅助角公式化简()sin (0)f x x x ωωω=->,先求解方程()1f x =-的根的表达式,再根据在(0,)π上有且只有三个实数根列出对应的不等式求解即可. 【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又()1f x =-在(0,)π上有且只有三个实数根,故12sin 1sin 332x x ππωω⎛⎫⎛⎫-=-⇒-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得236x k ππωπ-=-或7236x k ππωπ-=+, 即26k x ππωω=+或232k x ππωω=+,()k Z ∈. 设直线1y =-与()f x 在(0,)+∞上从做到右的第三个交点为A ,第四个交点为B .则21366Ax πππωωω=+=,23722B x πππωωω=+=.故1313767622ππωωππω⎧<⎪⎪⇒<≤⎨⎪≥⎪⎩. 故实数ω的取值范围为137(,]62. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据三角函数的根求解参数范围的问题,需要根据题意先求解根的解析式,进而根据区间中的零点个数列出区间端点满足的关系式求解即可.属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果.由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题. 6．C 【解析】1(2,2)C -，11r =， 2(2,5)C ，24r =，12125C C r r ===+，即两圆外切，故选C ．点睛：判断圆与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系． (2)切线法：根据公切线条数确定． （3）数形结合法：直接根据图形确定 7．C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，对样本数据按从小到大排列为135421x x x x x <<<<-<-，取中间的平均数. 【详解】123451x x x x x <<<<<-， 135421x x x x x ∴<<<<-<-，则该组样本的中位数为中间两数的平均数，即()5112x +. 【点睛】考查基本不等式性质运用和中位数的定义. 8．C 【解析】 【详解】 抽取比例为150130000200=,1400020200∴⨯=，抽取数量为20,故选C. 9．C 【解析】 【分析】根据圆锥的周长求出底面半径，再计算圆锥的体积，从而估算堆放的稻谷数． 【详解】设圆锥形稻谷堆的底面半径为r 尺， 则底面周长为230l r π==尺，解得15r π=尺，又高为4h =尺，所以圆锥的体积为221115900()4100333V r h ππππ===≈（立方尺）；又10061.731.62≈（斛)， 所以估算堆放的稻谷约有61.73（斛)． 故选：C ． 【点睛】本题考查了椎体的体积计算问题，也考查了实际应用问题，是基础题． 10．D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知，结合sin 0A ≠，可求4cos sin 3C C =，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 5C =，进而利用三角形的面积公式即可解得a 的值． 【详解】解：3cos 4sin a C c A =，∴由正弦定理可得3sin cos 4sin sin A C C A =，sin 0A ≠，3cos 4sin C C ∴=，即4cos sin 3C C =，222221625sin cos sin sin sin 199C C C C C ∴+=+==，解得：3sin 5C =或3sin 5C =-（舍去） 4b =，ABC ∆的面积11310sin 4225S ab C a ===⨯⨯⨯，∴解得253a =． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 11．B 【解析】 【分析】由几何概型中的随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，将正方形面积代入运算即可． 【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点， 其中落入白色部分的有484个点， 则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：S 605S 1089=黑正，又9S 正=， 可得605951089S =⨯≈黑，故选B ． 【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解. 12．C 【解析】 【分析】首先根据图形计算出矢23=-，弦2AB ==，再带入弧田面积公式即可. 【详解】 如图所示：因为3AOB π∠=，2OA OB ==，ABC 为等边三角形.所以2213=-=OD ，矢23=-2AB ==.21111[2(2(2][443]222S =⨯+-=--=-故选：C 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题 13．8073 【解析】 【分析】对n 分奇偶讨论求解即可 【详解】当n 为偶数时，123213n n n n a a a a a a ----=-=-= 当n 为奇数时，123325n n n n a a a a a a ----=-=-=故当n 为奇数时，11221111=++++5314322n n n n n n n a a a a a a a a n --------=⨯+⨯+=- 故20194201938073a =⨯-= 故答案为8073 【点睛】本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对n 分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题14 【解析】 【分析】可设AOD θ∠=，表示出S 关于θ的函数，从而转化为三角函数的最大值问题. 【详解】设AOD θ∠=，则1111sin sin 22OAD OBC S S θθ∆∆==⨯⨯⨯=， 12cos 1cos 2EFG S θθ∆=⨯⨯=，πsin cos 4S θθθ⎛⎫∴=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，max S =【点睛】本题主要考查函数的实际运用，三角函数最值问题，意在考查学生的划归能力，分析能力和数学建模能力.15【解析】 【分析】根据向量的数量积的应用进行转化即可． 【详解】242a b ==，，a 与b 的夹角为3π，∴a •b =|a ||b |cos 132π==4，则222()22832a b a b a a b b -=-=-⋅+=-+=． 【点睛】本题主要考查向量长度的计算，根据向量数量积的应用是解决本题的关键．16．2【解析】 【分析】根据分段函数的解析式先求()1f -，再求()()1f f -即可.【详解】因为()()21112f -=-+=，所以()()()12sin 3f f f π-===【点睛】本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。