高一数学期末测 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.） 1．下列命题中正确的是（）A ．第一象限角必是锐角B ．终边相同的角相等C ．相等的角终边必相同D ．不相等的角其终边必不相同2．已知角α的终边过点()m m P 34，-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（）A ．1或－1B ．52或52- C ．1或52- D ．－1或52 3．下列命题正确的是（）A ．若→a ·→b =→a ·→c ，则→b =→c B ．若||||b a b a -=+，则→a ·→b =0C ．若→a //→b ，→b //→c ，则→a //→cD ．若→a 与→b 是单位向量，则→a ·→b =14．计算下列几个式子，①35tan 25tan 335tan 25tan ++,②2(sin35?cos25?+sin55?cos65?),③15tan 115tan 1-+,④6tan16tan2ππ-，结果为3的是（）A ．①②B ．③C ．①②③D ．②③④5．函数y ＝cos(4π－2x )的单调递增区间是 （） A ．[k π＋8π，k π＋85π]（k ∈Z）B ．[k π－83π，k π＋8π]（k ∈Z）C ．[2k π＋8π，2k π＋85π]（k ∈Z）D ．[2k π－83π，2k π＋8π]（k ∈Z）6．△ABC 中三个内角为A 、B 、C ，若关于x 的方程22cos cos cos02Cx x A B --=有一根为1，则△ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形7．将函数)32sin()(π-=x x f 的图像左移3π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则所得到的图象的解析式为（）A ．x y sin =B ．)34sin(π+=x yC ．)324sin(π-=x y D ．)3sin(π+=x y8.化简10sin 1++10sin 1-，得到（）A ．－2sin5B ．－2cos5C ．2sin5D ．2cos5 9．函数f(x)=sin2x ·cos2x 是（） A ．周期为π的偶函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为2π的偶函数 D ．周期为2π的奇函数. 10．若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．π125 11．正方形ABCD 的边长为1，记→-AB ＝→a ，→-BC ＝→b ，→-AC ＝→c ，则下列结论错误．．的是（）A ．(→a －→b )·→c ＝0 B ．(→a ＋→b －→c )·→a ＝0C ．(|→a －→c |－|→b |)→a ＝→D ．|→a ＋→b ＋→c |＝212．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正 方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1， 小正方形的面积是θθ22cos sin ,251-则的值等于（）A ．1B ．2524- C ．257D ．－257二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
请把正确答案填在题中的横线上） 13．已知曲线y =Asin(?x ＋?)＋k （A>0,?>0,|?|<π）在同一周期内的最高点的坐标为(8π,4)，最低点的坐标为(85π,－2)，此曲线的函数表达式是． 14．设sin ?－sin ?=31，cos ?+cos ?=21,则cos(?+?)=． 15．已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么XBXA ⋅的最小值是___________．16．关于下列命题：①函数x y tan =在第一象限是增函数；②函数)4(2cos x y -=π是偶函数；③函数)32sin(4π-=x y 的一个对称中心是（6π，0）；④函数)4sin(π+=x y 在闭区间]2,2[ππ-上是增函数;写出所有正确的命题的题号：。
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知434παπ<<，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的值.18．（本小题满分12分）已知函数x x x f cos 3sin )(+=。
（I ）求)(x f 的周期和振幅；（II ）用五点作图法作出)(x f 在一个周期内的图象; （III ）写出函数)(x f 的递减区间. 19．（本小题满分12分）已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为θsin 和θcos ，θ∈（0，π）.求： （I ）m 的值； （II ）θθθθθtan 1cos 1tan sin tan -+-的值； （III ）方程的两根及此时θ的值. 20．（本小题满分12分）已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α,sin α),α∈(2π,23π).（I ）若|AC |=|BC |，求角α的值；（II ）若AC ·BC =-1，求αααtan 12sin sin 22++的值.21．（本小题满分12分）某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y =已知某日海水深度的数据如下：经长期观察，)(t f y =的曲线可近似地看成函数b t A y +=ωsin 的图象（I ）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式； （II ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。
某船吃水深度（船底离水面的距离）为5.6米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？22．（本小题满分14分）已知向量()())90sin(),90cos(,)sin(2),cos(2θθθθ--=--=b a（I ）求证：b a⊥；（II ）若存在不等于0的实数k 和t ，使b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2满足y x ⊥。
试求此时tt k 2+的最小值。
参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
） 1.C2.B3.B4.C5.B6.B7.B8.A9.D10.B11.D12.D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．1)42sin(3++=πx y14．7259-15．－8 16．③ 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：∵434π<α<π∴π<α+π<π42---------------1分 又53)4cos(-=α+π∴54)4sin(=α+π---------------3分∵40π<β<∴π<β+π<π4343-------------4分又135)43sin(=β+π∴1312)43cos(-=β+π----------6分∴sin(?+?)=?sin[?+(?+?)]----------------8分 =)]43()4sin[(β+π+α+π- )]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=------10分6563]13553)1312(54[=⨯--⨯-=-----------12分18．（本小题满分12分）解：（I ）)cos 23sin 21(2x x y +=＝)3sin cos 3cos (sin 2ππx x + ＝)3sin(2π+x-----------2分函数)(x f 的周期为T ＝π2，振幅为2。
----------------4分（II ）列表：-----------------7分图象如上。
----------------9分（III ）由)(232322Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ解得：---------10分所以函数的递减区间为)(],672,62[Z k k k ∈++ππππ-------12分19．（本小题满分12分）（I ）由韦达定理得：213cos sin +=+θθ----------1分 ∴4432cos sin 21+=+θθ∴23cos sin 2=θθ---------2分 由韦达定理得2cos sin m=⋅θθ=43∴23=m --------3分 （II ）∵2)231(cos sin 21-=-θθ∴213cos sin -±=-θθ---4分 ∵θθθθθtan 1cos 1tan sin tan -+-=θθθθθθsin cos cos cos sin sin 22-+- =θθθθθθcos sin cos sin cos sin 22+=-----------6分 ∴原式=213cos sin +=+θθ-----------------------7分 （III ）23cos sin 2=θθ>0 ∵θsin 与θcos 同号，又∵θθcos sin +>0∴θsin 与θcos 同正号-------------------------8分 ∵θ∈（0，π）∴θ∈（0，2π）------------------9分 ∵213cos sin +=+θθ，且213cos sin -±=-θθ∴θsin =23，θcos =21；或θsin =21，θcos =23--------11分 ∴θ=6π或θ=3π.---------------------------12分 20．（本小题满分12分）解：（I ）∵AC =(cos α-3,sin α)，BC =(cos α,sin α-3),--2分∴|AC |=αααcos 610sin )3(cos 22-=+-,|BC |=αααsin 610)3(sin cos 22-=-+.--------------4分 由|AC |=|BC |得sin α=cos α. 又∵α∈(2π,23π)，∴α=45π.----------------------6分 （II ）由AC ·BC =-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=32---8分 由上式两边平方得1+2sin αcos α=94, ∴2sin αcos α=95-.----------------------------10分 又ααααααααcos sin 1)cos (sin sin 2tan 12sin sin 22++=++=2sin αcos α.∴95tan 12sin sin 22-=++ααα.-------------------------12分21．（本小题满分12分）解：（I ）依题意有：最小正周期为：T=12--------1分 振幅：A=3，b=10，62ππω==T ---------2分 10)6sin(3)(+⋅==t t f y π----------------------4分（II ）该船安全进出港，需满足：55.6+≥y即：5.1110)6sin(3≥+⋅t π21)6sin(≥⋅t π---------6分 ∴Z k k t k ∈+≤⋅≤+652662πππππZ k k t k ∈+≤≤+512112-----------------------8分又240≤≤t51≤≤∴t 或1713≤≤t ------------10分依题意：该船至多能在港内停留：16117=-（小时）----12分 22．（本小题满分14分）解：由诱导公式得：()())cos ,sin ,sin 2,cos 2θθθθ=-=b a-------2分12==b a-------------------------3分（I ）0cos )sin 2(sin cos 2=⋅-+⋅=⋅θθθθb a则b a ⊥---------5分 （II ）b t a k y b t a x +-=-+=,)3(2y x ⊥0=⋅∴y x-------------------------6分即：0][])3([2=+-⋅-+b t a k b t a∴4)3(0)3(422tt k t t k -==-+------------------------9分 ∴47)2(41]7)2[(41434)(2222-+=-+=-+=+=t t t t t t k t f ------12分即当2-=t 时，t t k 2+的最小值为47-.---------------14分。